Soft-Margin 的含义
所谓的Hard-Margin,就是指所有的资料都要完全分开,即separable,这是SVM产生过拟合的原因之一(还有一个原因就是过于复杂的转换 Φ\PhiΦ)。
所以引入Soft-Margin, 即不必让所有的资料都完全分开,让SVM容许一部分的错误分类点的存在,从而在一定程度上减少过拟合,即要在large margin 和错误分类点容忍度(noise tolerance)之间做一个取舍,以一个参数来衡量。
选择什么参数来衡量? 以下由两种方式:
第一种方式:衡量错误分类点的个数
minb,w12wTw+C⋅∑n=1N[[yn≠sign(wTzn+b)]]s.t.      yn(wTzn+b)≥1  for  correct  n          yn(wTzn+b)≥−∞  for  incorrect  n\begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{b,w} \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {\left[\kern-0.15em\left[ {{y_n} \ne sign({w^T}{z_n} + b)}
\right]\kern-0.15em\right]} \\ \\
s.t.\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \;for\;correct\;n\\ \\
\;\;\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge - \infty {\kern 1pt} \;for\;incorrect\;n
\end{array}b,wmin21wTw+C⋅n=1∑N[[yn̸=sign(wTzn+b)]]s.t.yn(wTzn+b)≥1forcorrectnyn(wTzn+b)≥−∞forincorrectn
C的含义:trade-off of large margin & noise tolerance。
对于这种方式有两个不足之处,
- [[]]\left[\kern-0.15em\left[ {} \right]\kern-0.15em\right][[]]是非线性函数,无法使用QP来求解。
- 无法区分noise点犯错误程度的大小。
第二种方式:衡量错误分类点的犯错误程度
minb,w,ξ12wTw+C⋅∑n=1Nξns.t.      yn(wTzn+b)≥1−ξn            ξn≥0          \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{b,w,\xi } \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} \\ \\ s.t.\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge 1 - {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\xi _n}\;\\ \\ \;\;\;\;\;{\xi _n} \ge 0\\ \\ \;\;\;\;\; \end{array}b,w,ξmin21wTw+C⋅n=1∑Nξns.t.yn(wTzn+b)≥1−ξnξn≥0
C的含义:trade-off of large margin & margin violation。
该问题可以用QP来解,即有d~+1+N\tilde d + 1 + Nd~+1+N个变量,2N个约束。
综上,一般采用第二种方式。
对偶形式的Soft-Margin SVM
构造拉格朗日方程如下,
L(w,b,ξ,α,β)=12wTw+C⋅∑n=1Nξn+∑n=1Nβn(−ξn)                            +∑n=1Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b))\begin{array}{l}
L(w,b,\xi ,\alpha ,\beta ) = \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} + \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _n}( - {\xi _n})} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}(1 - {\xi _n} - {y_n}({w^{\rm{T}}}{z_n} + b))}
\end{array}L(w,b,ξ,α,β)=21wTw+C⋅n=1∑Nξn+n=1∑Nβn(−ξn)+n=1∑Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b))
所对应的dual形式描述如下,
maxαn≥0,βn≥0(minb,w,ξ    12wTw+C⋅∑n=1Nξn+∑n=1Nβn(−ξn)                            +∑n=1Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b)))\begin{array}{l}
\mathop {\max }\limits_{{\alpha _n} \ge 0,{\beta _n} \ge 0} (\mathop {\min }\limits_{b,w,\xi } \;\;\frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} + \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _n}( - {\xi _n})} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}(1 - {\xi _n} - {y_n}({w^{\rm{T}}}{z_n} + b))} )
\end{array}αn≥0,βn≥0max(b,w,ξmin21wTw+C⋅n=1∑Nξn+n=1∑Nβn(−ξn)+n=1∑Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b)))
下面是一系列的求解,
∂L∂ξn=0=C−αn−βn⇒βn=C−αn0≤αn≤C∂L∂b=0=∑n=1Nαnyn∂L∂wi=0=w−∑n=1Nαnynzn⇒w=∑n=1Nαnynzn\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {\xi _n}}} = 0 = C - {\alpha _n} - {\beta _n} \Rightarrow \begin{array}{} {{\beta _n} = C - {\alpha _n}}\\ {0 \le {\alpha _n} \le C} \end{array}\\ \frac{{\partial L}}{{\partial b}} = 0 = \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}} \\ \frac{{\partial L}}{{\partial {w_i}}} = 0 = w - \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \Rightarrow w = \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \end{array}∂ξn∂L=0=C−αn−βn⇒βn=C−αn0≤αn≤C∂b∂L=0=n=1∑Nαnyn∂wi∂L=0=w−n=1∑Nαnynzn⇒w=n=1∑Nαnynzn
标准的Soft-Margin SVM Dual形式为,
standardsoft−marginSVMdualminα12∑n=1N∑m=1NαnαmynymznTzm−∑n=1Nαns.t.∑n=1Nynαn=0;0≤αn≤C,forn=1,2,⋯ ,Nimplicity    w=∑n=1Nαnynzn                    βn=C−αn\begin{array}{l} {\rm{standard soft - margin SVM dual}}\\ \mathop {\min }\limits_\alpha {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{m = 1}^N {{\alpha _n}} } {\alpha _m}{y_n}{y_m}z_n^T{z_m} - \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}} \\ s.t.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{n = 1}^N {{y_n}} {\alpha _n} = 0;\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le {\alpha _n} \le C,{\kern 1pt} for{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} n = 1,2, \cdots ,N\\ {\rm{implicity}}\;\;{\rm{w = }}\sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _n} = C - {\alpha _n} \end{array}standardsoft−marginSVMdualαmin21n=1∑Nm=1∑NαnαmynymznTzm−n=1∑Nαns.t.n=1∑Nynαn=0;0≤αn≤C,forn=1,2,⋯,Nimplicityw=n=1∑Nαnynznβn=C−αn
上述形式类似于hard-margin SVM dual,其实与hard-margin相比,只是在αn{\alpha _n}αn处多了一个上界C而已。
显而易见,上述形式的SVM可用QP来求解,其共有N个变量,2N+1条约束。
类似的,Kernel也可以用在soft-margin SVM里,此时,参数为,
α←QP(QD,p,A,c)w←∑n=1Nαnynzn\begin{array}{l}
\alpha \leftarrow QP({Q_D},p,A,c)\\
w \leftarrow \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}}
\end{array}α←QP(QD,p,A,c)w←n=1∑Nαnynzn
类似于hard-margin,通过SV求解b,有,
SV(αs>0)⇒b=ys−ysξs−wTzs\begin{array}{l}
SV({\alpha _s} > 0)\\
\Rightarrow b = {y_s} - {y_s}{\xi _s} - {w^T}{z_s}
\end{array}SV(αs>0)⇒b=ys−ysξs−wTzs
上式在计算b的时候,有一项ysξs{y_s}{\xi _s}ysξs,其中的ξs{\xi _s}ξs是在求出b之后才能得到的,所以要想办法去掉该项,这里引入free的概念,即,
free(αs<C)⇒ξs=0\begin{array}{l}
free({\alpha _s} < C)\\
\Rightarrow {\xi _s} = 0
\end{array}free(αs<C)⇒ξs=0
所以,在soft-margin SVM里,b是通过free  SV(xs,ys)free\;SV({x_s},{y_s})freeSV(xs,ys)来求解的,即,
b=ys−∑SVαnynK(xn,xs)b = {y_s} - \sum\limits_{SV} {{\alpha _n}{y_n}K({x_n},{x_s})} b=ys−SV∑αnynK(xn,xs)
当然,也可能存在没有free SV的情况,那这时b只能通过一系列的不等式来限制,此时b的值有很多个,只要满足KKT条件就行。但绝大多数的情形,都是存在free SV的。
参数选择例子,
αn{\alpha _n}αn的含义,
对于SV(αn>0{\alpha _{\rm{n}}} > 0αn>0),分为两种,
1.Free SV(正方形表示):0<αn<C,ξn=00 < {\alpha _n} < C,{\xi _n} = 00<αn<C,ξn=0,在边界上,用于确定b;
2.Bounded SV(三角形表示):αn=C,ξn=violation  amount{\alpha _n} = C,{\xi _n} = violation\;amountαn=C,ξn=violationamount ,违反边界或在边界上
对于非SV(αn=0{\alpha _n} = 0αn=0),有,
ξn=0{\xi _n} = 0ξn=0 ,远离边界或者在边界上
综上,αn{\alpha _n}αn可用在资料分析方面上。