机器学习——SVM(4 Soft-Margin SVM)

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Soft-Margin 的含义

所谓的Hard-Margin,就是指所有的资料都要完全分开，即separable,这是SVM产生过拟合的原因之一(还有一个原因就是过于复杂的转换 $Φ\Phi$ )。
所以引入Soft-Margin, 即不必让所有的资料都完全分开，让SVM容许一部分的错误分类点的存在，从而在一定程度上减少过拟合，即要在large margin 和错误分类点容忍度（noise tolerance）之间做一个取舍，以一个参数来衡量。

选择什么参数来衡量？ 以下由两种方式：
第一种方式：衡量错误分类点的个数
$min⁡b,w12wTw+C⋅∑n=1N[[yn≠sign(wTzn+b)]]s.t.   yn(wTzn+b)≥1 for correct n     yn(wTzn+b)≥−∞ for incorrect n\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{b,w} \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {\left[\kern-0.15em\left[ {{y_n} \ne sign({w^T}{z_n} + b)} \right]\kern-0.15em\right]} \\ \\ s.t.\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \;for\;correct\;n\\ \\ \;\;\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge - \infty {\kern 1pt} \;for\;incorrect\;n \end{array}$

C的含义：trade-off of large margin & noise tolerance。

对于这种方式有两个不足之处，

$[[]]\left[\kern-0.15em\left[ {} \right]\kern-0.15em\right]$ 是非线性函数，无法使用QP来求解。
无法区分noise点犯错误程度的大小。

第二种方式：衡量错误分类点的犯错误程度
在这里插入图片描述

$min⁡b,w,ξ12wTw+C⋅∑n=1Nξns.t.   yn(wTzn+b)≥1−ξn      ξn≥0     \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{b,w,\xi } \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} \\ \\ s.t.\;\;\;{y_n}({w^T}{z_n} + b) \ge 1 - {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\xi _n}\;\\ \\ \;\;\;\;\;{\xi _n} \ge 0\\ \\ \;\;\;\;\; \end{array}$

C的含义:trade-off of large margin & margin violation。

该问题可以用QP来解，即有 $d~+1+N\tilde d + 1 + N$ 个变量，2N个约束。

综上，一般采用第二种方式。

对偶形式的Soft-Margin SVM

构造拉格朗日方程如下，
$L(w,b,ξ,α,β)=12wTw+C⋅∑n=1Nξn+∑n=1Nβn(−ξn)              +∑n=1Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b))\begin{array}{l} L(w,b,\xi ,\alpha ,\beta ) = \frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} + \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _n}( - {\xi _n})} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}(1 - {\xi _n} - {y_n}({w^{\rm{T}}}{z_n} + b))} \end{array}$
所对应的dual形式描述如下，
$max⁡αn≥0,βn≥0(min⁡b,w,ξ  12wTw+C⋅∑n=1Nξn+∑n=1Nβn(−ξn)              +∑n=1Nαn(1−ξn−yn(wTzn+b)))\begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{{\alpha _n} \ge 0,{\beta _n} \ge 0} (\mathop {\min }\limits_{b,w,\xi } \;\;\frac{1}{2}{w^T}w + C \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{\xi _n}} + \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _n}( - {\xi _n})} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}(1 - {\xi _n} - {y_n}({w^{\rm{T}}}{z_n} + b))} ) \end{array}$

下面是一系列的求解，

$∂L∂ξn=0=C−αn−βn⇒βn=C−αn0≤αn≤C∂L∂b=0=∑n=1Nαnyn∂L∂wi=0=w−∑n=1Nαnynzn⇒w=∑n=1Nαnynzn\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {\xi _n}}} = 0 = C - {\alpha _n} - {\beta _n} \Rightarrow \begin{array}{} {{\beta _n} = C - {\alpha _n}}\\ {0 \le {\alpha _n} \le C} \end{array}\\ \frac{{\partial L}}{{\partial b}} = 0 = \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}} \\ \frac{{\partial L}}{{\partial {w_i}}} = 0 = w - \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \Rightarrow w = \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \end{array}$

标准的Soft-Margin SVM Dual形式为，

$standardsoft−marginSVMdualmin⁡α12∑n=1N∑m=1NαnαmynymznTzm−∑n=1Nαns.t.∑n=1Nynαn=0;0≤αn≤C,forn=1,2,⋯ ,Nimplicity  w=∑n=1Nαnynzn          βn=C−αn\begin{array}{l} {\rm{standard soft - margin SVM dual}}\\ \mathop {\min }\limits_\alpha {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{m = 1}^N {{\alpha _n}} } {\alpha _m}{y_n}{y_m}z_n^T{z_m} - \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}} \\ s.t.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{n = 1}^N {{y_n}} {\alpha _n} = 0;\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0 \le {\alpha _n} \le C,{\kern 1pt} for{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} n = 1,2, \cdots ,N\\ {\rm{implicity}}\;\;{\rm{w = }}\sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _n} = C - {\alpha _n} \end{array}$

上述形式类似于hard-margin SVM dual,其实与hard-margin相比，只是在 $αn{\alpha _n}$ 处多了一个上界C而已。

显而易见，上述形式的SVM可用QP来求解，其共有N个变量，2N+1条约束。

类似的，Kernel也可以用在soft-margin SVM里，此时，参数为，
$α←QP(QD,p,A,c)w←∑n=1Nαnynzn\begin{array}{l} \alpha \leftarrow QP({Q_D},p,A,c)\\ w \leftarrow \sum\limits_{n = 1}^N {{\alpha _n}{y_n}{z_n}} \end{array}$

类似于hard-margin,通过SV求解b,有，
$SV(αs>0)⇒b=ys−ysξs−wTzs\begin{array}{l} SV({\alpha _s} > 0)\\ \Rightarrow b = {y_s} - {y_s}{\xi _s} - {w^T}{z_s} \end{array}$

上式在计算b的时候，有一项 $ysξs{y_s}{\xi _s}$ ，其中的 $ξs{\xi _s}$ 是在求出b之后才能得到的，所以要想办法去掉该项，这里引入free的概念，即，
$free(αs<C)⇒ξs=0\begin{array}{l} free({\alpha _s} < C)\\ \Rightarrow {\xi _s} = 0 \end{array}$

所以，在soft-margin SVM里，b是通过 $free SV(xs,ys)free\;SV({x_s},{y_s})$ 来求解的，即，
${y_s} - \sum\limits_{SV} {{\alpha _n}{y_n}K({x_n},{x_s})}$

当然，也可能存在没有free SV的情况，那这时b只能通过一系列的不等式来限制，此时b的值有很多个，只要满足KKT条件就行。但绝大多数的情形，都是存在free SV的。

参数选择例子，
在这里插入图片描述

$αn{\alpha _n}$ 的含义，
在这里插入图片描述

对于SV( $αn>0{\alpha _{\rm{n}}} > 0$ ),分为两种，
1.Free SV(正方形表示): ${\alpha _n} < C,{\xi _n} = 0$ ,在边界上，用于确定b;
2.Bounded SV(三角形表示): $αn=C,ξn=violation amount{\alpha _n} = C,{\xi _n} = violation\;amount$ ,违反边界或在边界上