分段低次插值

1.高次插值的病态性质

龙格现象

给出函数$f(x)=\dfrac{1}{1+25x^2}$在区间$[-1,1]$里的分别在$n=4,8,12,\cdots$时的插值函数并作出图像，发现并不是n越大，插值的效果就越好。其图像大概如下图：

所以，在实际应用中一般只采用一次、二次，最多三次插值多项式函数。

2.分段线性插值

将区间$[a,b]$分为n个子区间，并在每个子区间上求线性函数。

$$I(x)=\begin{cases} 线性函数，[x_0,x_1]\\ 线性函数，[x_1,x_2]\\ \cdots\\ \cdots\\ 线性函数，[x_{n-1},x_n] \end{cases}$$
那么当$\Delta x$的最大值h->0时，则$f(x)-I(x)$->0。
当n->+$\infty$时，$I(x)$在$[a,b]$上一致收敛到$f(x)$。

3.分段埃尔米特插值

给出如下条件：

$x$	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$\cdots$
$f(x)$	$y_0$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$\cdots$
$f'(x)$	$y'_0$	$y'_1$	$y'_2$	$y'_3$	$\cdots$

则分别在每个子区间上求其三次埃尔米特插值。
即，

$$H(x)=\begin{cases} 三次埃尔米特插值函数，[x_0,x_1]\\ 三次埃尔米特插值函数，[x_1,x_2]\\ \cdots\\ \cdots\\ 三次埃尔米特插值函数，[x_{n-1},x_n] \end{cases}$$