刷题-Symmetric Tree 缺python

本文介绍了一种检查二叉树是否为中心对称的方法,提供了递归算法实现,并附带Java代码示例。

Given a binary tree, check whether it is a mirror of itself (ie, symmetric around its center).

For example, this binary tree is symmetric:

    1
   / \
  2   2
 / \ / \
3  4 4  3

But the following is not:

    1
   / \
  2   2
   \   \
   3    3

Note:
Bonus points if you could solve it both recursively and iteratively.

confused what "{1,#,2,3}" means? > read more on how binary tree is serialized on OJ.

java:

/**
 * Definition for binary tree
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
public class Solution {
    public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;
        if (root.left==null && root.right==null) return true;
        return isRight(root.left,root.right);
        
    }
    public boolean isRight(TreeNode n1,TreeNode n2){
        if (n1 == null && n2 == null) return true;
        if (n1 != null && n2 == null) return false;
        if (n1 == null && n2 != null) return false;
        if (n1.val != n2.val) return false;
        return isRight(n1.left,n2.right)&&isRight(n1.right,n2.left);
    }
}

<think>好的,我现在需要处理用户关于斜对称矩阵(skew-symmetric matrix)的定义和数学特性的查询。首先,我需要明确用户的需求,他们可能是在学习线性代数或者相关领域,需要了解这一基本概念的核心性质。接下来,我得回忆斜对称矩阵的基本定义:一个方阵A,其转置等于它的负数,即A^T = -A。这一点是基础,必须准确无误地表达出来。 然后,数学特性方面,我需要涵盖几个关键点。比如,对角线元素必须为零,因为当i=j时,a_ij = -a_ji,所以只能是零。另外,特征值的特性,斜对称矩阵的特征值要么是零,要么是纯虚数,这对理解其谱性质很重要。行列式方面,奇数阶的斜对称矩阵的行列式为零,这可能涉及到是否存在逆矩阵的问。 还要考虑指数映射,比如任何斜对称矩阵的指数是正交矩阵,这在李群和李代数中的应用可能有联系。此外,结构分解,比如任何方阵都可以分解成对称和斜对称部分,这也是一个重要的性质,可能在物理或工程中的应用相关。 接下来需要验证这些信息是否正确,可能需要搜索确认。比如,检查特征值是否确实为纯虚数或零,或者行列式在奇数阶的情况。同时,是否有其他重要性质被遗漏,比如迹为零,或者其与向量叉乘的关系(如三维中的斜对称矩阵对应一个向量)。 用户的问可能涉及到应用场景,比如在力学中的角动量或电磁学中的应用,但当前问主要关注数学性质,所以可能需要保持集中在代数特性上。同时,用户可能想知道如何判断一个矩阵是否为斜对称,或者如何构造这样的矩阵,但根据问,主要需要提供定义和固有性质。 在组织回答时,需要按照用户的要求,分点说明,避免步骤词汇,每个方法或步骤间换行。还要注意数学公式的正确格式,行内公式用$包裹,独立公式用$$。例如,定义中的A^T = -A需要用行内公式,而特征值的部分可能需要独立公式。 关于相关问部分,需要基于原始问和回答内容生成。比如,可能的问包括斜对称矩阵的应用实例,如何分解矩阵为对称和斜对称部分,或者斜对称矩阵与正交矩阵的关系等。需要确保至少三个问,并且每个问都与原问相关,能够引导用户深入理解。 最后,检查格式是否符合要求,特别是引用内容不能集中在末尾,每个点是否有清晰的换行,代码和公式是否正确使用指定格式。确保没有使用第一人称,步骤词汇,并且相关问部分正确放置,格式严格遵循。</think>斜对称矩阵(skew-symmetric matrix)是满足 $A^T = -A$ 的方阵,其数学特性如下: **定义** 对于任意方阵 $A$,若其转置矩阵满足 $A^T = -A$,则称为斜对称矩阵。矩阵元素满足 $a_{ij} = -a_{ji}$,且对角线元素 $a_{ii} = 0$。 **数学特性** 1. **特征值特性** 斜对称矩阵的特征值为纯虚数或零。若 $\lambda$ 是其特征值,则对应 $\lambda = bi$($b$ 为实数,$i$ 为虚数单位)。对于实斜对称矩阵,特征值以共轭对形式出现。 2. **行列式性质** 奇数阶斜对称矩阵的行列式为零。例如,3阶斜对称矩阵的行列式满足 $\det(A) = 0$。 3. **迹为零** 斜对称矩阵的迹(对角线元素之和)恒为零,即 $\text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = 0$。 4. **指数映射与正交矩阵** 斜对称矩阵的指数映射 $e^A$ 是正交矩阵,即 $(e^A)^T e^A = I$。这一性质在刚体旋转和李群理论中有重要应用。 5. **向量空间结构** 所有 $n \times n$ 斜对称矩阵构成一个向量空间,其维度为 $\frac{n(n-1)}{2}$。例如,3阶斜对称矩阵的维度为3。 6. **分解定理** 任意实方阵可唯一分解为对称矩阵与斜对称矩阵之和: $$B = \frac{B + B^T}{2} + \frac{B - B^T}{2}$$ 其中 $\frac{B - B^T}{2}$ 为斜对称部分。 **代码示例(生成斜对称矩阵)** ```python import numpy as np def generate_skew_symmetric(n): A = np.random.rand(n, n) return (A - A.T) / 2 # 确保A_ij = -A_ji # 生成3阶斜对称矩阵示例 skew_mat = generate_skew_symmetric(3) print("Skew-symmetric matrix:\n", skew_mat) ```
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