Huffman tree

1、定义

给定n个权值作为n的叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

2、几个概念

路径和路径长度

在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定 根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长 度为L-1。

结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

3、构建过程

假设有1   3    4   5   6   8   11   13 几个数，如何构建Huffman tree呢，

第一步，选取最小的2个数组成一颗数，并把2个数在原森林中删除，把2数之和加入森林，那么树变为：

森林变为：4   4   5   6   8   11  13

第二步，重复第一步，森林变为：5   6   8   8   11   13，树变为：

第三步，重复第一步，森林变为：8   8   11   11  13，树变为：

第四步，重复第一步，森林变为：11   11   13   16，数变为：

第五步，重复第一步，森林变为：13   16   22，树变为：

第六步，重复第一步，森林变为：22   29，树变为：

第七步，森林中只有2个数了，连起来，整个Huffman Tree就构造完成，整棵树为：

4、Huffman码：

按照上面的Huffman树，我们可以得到各个节点的编码如下：

1 的编码为：00000

3 的编码为：00001

4 的编码为：0001

5 的编码为：100

6 的编码为：101

8 的编码为：001

11 的编码为：11

13 的编码为：01