洛谷P1064 金明的预算方案 DP背包之依赖背包

今天学习了背包九讲,收益颇多,总算明白了01背包和完全背包遍历顺序的区别,依赖背包怎么转化为分组背包,泛化物品是如何将抽象思维体现的淋漓尽致……

并记住了一句名言:失败并不是什么丢人的事,从失败中全无收获才是。

开始正题-------金明的预算的方案

题目描述

金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过NNN元钱就行”。今天一早,金明就开始做预算了,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:

主件 附件

电脑 打印机,扫描仪

书柜 图书

书桌 台灯,文具

工作椅 无

如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有000个、111个或222个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多,肯定会超过妈妈限定的NNN元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为555等:用整数1−51-51−5表示,第555等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是101010元的整数倍)。他希望在不超过NNN元(可以等于NNN元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第jjj件物品的价格为v[j]v_[j]v[​j],重要度为w[j]w_[j]w[​j],共选中了kkk件物品,编号依次为j1,j2,…,jkj_1,j_2,…,j_kj1​,j2​,…,jk​,则所求的总和为:

v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk]v_[j_1] \times w_[j_1]+v_[j_2] \times w_[j_2]+ …+v_[j_k] \times w_[j_k]v[​j1​]×w[​j1​]+v[​j2​]×w[​j2​]+…+v[​jk​]×w[​jk​]。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入输出格式

输入格式:

第111行,为两个正整数,用一个空格隔开:

NmN mNm (其中N(<32000)N(<32000)N(<32000)表示总钱数,m(<60)m(<60)m(<60)为希望购买物品的个数。) 从第222行到第m+1m+1m+1行,第jjj行给出了编号为j−1j-1j−1的物品的基本数据,每行有333个非负整数

vpqv p qvpq (其中vvv表示该物品的价格(v<10000v<10000v<10000),p表示该物品的重要度(1−51-51−5),qqq表示该物品是主件还是附件。如果q=0q=0q=0,表示该物品为主件,如果q>0q>0q>0,表示该物品为附件,qqq是所属主件的编号)

输出格式:

一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<200000<200000<200000)。

分析

依赖背包问题可以对每个主件的附件进行01背包,得到主件的个数个物品组,组内元素代表的是对于每个主件的选取策略,对于每个物品组只能选择组内的一种策略,故可转化为分组背包问题来求解。

但是此题由于每个主件规定最多只有两个附件,所以直接枚举那四种情况即可(只选主件,主件+附件1,主件+附件2,都选)

具体细节见代码:(这里采用链表的形式存储主件附件之间的依赖关系,便于应对多附件的情况)

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct thing
{
    int v;
    int p;
    int q;
    struct thing *next;
}th[61];

int n,m;
int f[33000];//一维数组优化。表示当可用费用为i时的最大价值

void pack()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        if(th[i].q>0)//附件直接跳过,因为不能只选附件
            continue;
        for(j=n;j>=0;--j)
        {
            struct thing *pi=th[i].next,*pj=NULL;//两个指针分别代表两个附件
            if(pi!=NULL)
                pj=pi->next;

            if(j>=th[i].v)//只选主件
                f[j]=max(f[j],f[j-th[i].v]+th[i].p);

            if(pi!=NULL&&j-th[i].v-pi->v>=0)//选主件和附件1
                f[j]=max(f[j],f[j-th[i].v-pi->v]+th[i].p+pi->p);

            if(pj!=NULL&&j-th[i].v-pj->v>=0)//选主件和附件2
                f[j]=max(f[j],f[j-th[i].v-pj->v]+th[i].p+pj->p);

            if(pi!=NULL&&pj!=NULL&&j-th[i].v-pi->v-pj->v>=0)//都选
                f[j]=max(f[j],f[j-th[i].v-pi->v-pj->v]+th[i].p+pi->p+pj->p);
        }
    }
}
void scanff()
{
    cin>>n>>m;//最大费用n,物品m个
    int i;
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        th[i].next=NULL;
        cin>>th[i].v>>th[i].p>>th[i].q;
        th[i].p*=th[i].v;//定义价值

        if(th[i].q!=0)  //规范依赖关系
        {
            th[i].next=th[th[i].q].next;
            th[th[i].q].next=&th[i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanff();
    pack();
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

 

<think>嗯,用户问的是P1064的题解和示例代码。首先,我需要回忆一下这道题的具体内容。的题目编号P1064通常对应的是“金明预算方案”,这是一道动态规划的经典题目,属于背包问题的变种。用户可能已经尝试过但遇到了困难,需要详细的思路和代码示例。 首先,我需要确认题目要求。根据记忆,这道题的大意是,金明有N元钱,想要购买一些物品,这些物品分为主件和附件,每个主件可以有0、1或2个附件。购买附件的前提是已经购买了对应的主件。目标是在不超过总金额的情况下,使得每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。这明显是一个依赖背包问题,需要处理主件和附件的组合情况。 接下来,我需要考虑如何将这个问题转化为动态规划模型。通常,背包问题中的依赖关系可以通过分组背包来处理,每个主件及其附件的组合形成一个组,组内有多种选择方式。例如,一个主件可能有四种选择:不买、只买主件、买主件加第一个附件、买主件加第二个附件,或者买主件加两个附件,具体取决于附件的数量。 然后,用户可能需要具体的状态转移方程。假设总金额为V,每个主件i的价格为v[i],重要度为w[i],附件1为v1[i],w1[i],附件2为v2[i],w2[i]。那么对于每个主件,有几种可能的组合,总共有四种情况:主件、主件+附件1、主件+附件2、主件+附件1+附件2。这样,在动态规划过程中,对于每个主件,需要遍历所有可能的组合,并更新dp数组。 需要注意的是,附件不能单独存在,必须依附于主件。因此,在预处理时,需要将主件和附件的组合预先计算好,然后在动态规划时处理每个组内的所有可能性。 接下来,考虑代码结构。通常,这类问题需要先读取输入,将主件和附件分开存储,然后构建每个主件的所有可能组合,之后使用分组背包的模板进行处理。例如,可以使用一个数组dp[j]表示花费j元所能获得的最大价值,然后对每个主件组中的每个可能的组合,从后往前更新dp数组。 用户可能遇到的难点在于如何处理主件和附件的关系,以及如何枚举所有可能的组合。比如,如何判断某个主件是否有附件,如何计算不同组合下的价格和重要度乘积之和。此外,还需要注意时间复杂度,避免不必要的循环。 在示例代码中,应该展示如何存储主件和附件的信息,如何生成每个主件的可能选项,然后应用动态规划。例如,可以用结构体或类来存储每个物品的信息,然后遍历每个主件,生成其所有可能的组合,再更新dp数组。 另外,用户可能需要了解为什么这样处理是正确的,也就是动态规划的状态转移是否覆盖了所有可能的情况,是否遗漏了某些组合。因此,在解释思路时,需要强调分组背包的处理方式,确保每个主件组内的所有情况都被考虑进去。 最后,需要验证代码的正确性,比如测试样例是否正确,是否有处理边界情况,比如没有附件的情况,或者附件数量不足两个的情况。同时,代码需要符合题目的输入输出格式,避免因为格式错误导致提交失败。 总结一下,回答应该包括问题分析(依赖背包转化为分组背包)、动态规划思路(状态定义、转移方程)、代码实现步骤(输入处理、组合生成、DP更新),以及示例代码和可能的优化点。同时,根据用户提供的引用,可能需要参考类似题目的解法,比如引用5中的A-B数对的暴力解法,但这里显然需要更高效的动态规划方法。</think>### P1064 金明预算方案 题解 #### 问题分析 这是一个依赖背包问题,主件与附件构成依赖关系。需在有限预算下选择主件及其附件组合,使得总价值(价格×重要度)最大化[^5]。 #### 解题思路 1. **输入处理** 将物品分类为主件和附件,记录每个主件的附属关系。 2. **组合生成** 对每个主件生成4种可能组合: - 仅主件 - 主件+附件1 - 主件+附件2 - 主件+附件1+附件2 3. **动态规划** 使用分组背包思想,状态转移方程: $$ dp[j] = \max(dp[j],\ dp[j - cost] + value) $$ 其中$cost$为组合价格,$value$为组合价值。 #### 示例代码(C++) ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; struct Item { int v, w; vector<Item> sub; }; int main() { int N, m; cin >> N >> m; vector<Item> items(m+1); // 读取输入并建立主附件关系 for (int i = 1; i <= m; ++i) { int v, p, q; cin >> v >> p >> q; if (q == 0) { items[i].v = v; items[i].w = v * p; } else { items[q].sub.push_back({v, v*p}); } } vector<int> dp(N+1, 0); // 动态规划处理 for (int i = 1; i <= m; ++i) { if (items[i].v == 0) continue; // 跳过附件 vector<pair<int, int>> groups; int main_v = items[i].v, main_w = items[i].w; groups.emplace_back(main_v, main_w); // 生成所有组合 if (!items[i].sub.empty()) { Item s1 = items[i].sub[0]; groups.emplace_back(main_v+s1.v, main_w+s1.w); if (items[i].sub.size() > 1) { Item s2 = items[i].sub[1]; groups.emplace_back(main_v+s2.v, main_w+s2.w); groups.emplace_back(main_v+s1.v+s2.v, main_w+s1.w+s2.w); } } // 分组背包DP for (int j = N; j >= 0; --j) { for (auto [cost, value] : groups) { if (j >= cost) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost] + value); } } } } cout << dp[N]; return 0; } ``` #### 代码说明 1. 使用结构体存储物品信息,`sub`字段存储附件 2. 预处理时生成所有有效组合 3. 倒序遍历金额防止重复计算 4. 时间复杂度:$O(N \times M)$,其中M为有效组合数
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