数值计算 --- 平方根倒数快速算法(中)

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#牛顿法 #牛顿拉夫逊 #平方根倒数 #John Carmack #NR-iteration #雷神之锤 #Newton method

于 2024-09-22 21:45:32 首次发布

平方根倒数快速算法(中) --- 向Greg Walsh致敬！

数值计算 --- 平方根倒数快速算法(上)_开根号倒数快速-优快云博客文章浏览阅读709次，点赞31次，收藏30次。由于平方根倒数快速算法实在是太过经典，出于对code中magic number"0x5f3759df"的好奇，出于对John Carmack“what the fuck!”这一锐评的热爱，还有出于对于这一算法的原作者Greg Walsh的致敬。我写了这篇文章，作为该算法的自学笔记。_开根号倒数快速https://blog.youkuaiyun.com/daduzimama/article/details/142306873

在前面的介绍中，我们已经知道了这段代码的作者Greg Walsh在函数的最后使用了NR-iteration，且只用了一次NR-iteration就能达到比较理想的精度。这样一来，选择正确的初值就显得尤为重要了。而选择初始值的关键又在于充分的利用浮点数x在计算机中的表示/编码方式。

注意：为了便于行文顺畅，以及对照前后文看时不容易引起误解和混淆，我这里所有公式的编号都将延续上文公式的index。但会给这篇文章中的新公式给予新的index。本来这一系列的文章我最初都是放在一篇文章中写的，但那样的文章实在是太过于冗长，这才分成了上中下三篇。

1，计算机浮点数的二进制表示IEEE-754

在code中函数的输入number为一个float型的浮点数(注意：代码中的number就是我文中的x)。则根据标准IEEE 754，x的二进制浮点数表示如下(准确的说应该叫normal number的表示标准)，其中，S表示符号位，E表示指数，T表示有效数字的尾数：

$(-1)^{S}\times 2^{E-b}\times (1+T\cdot 2^{1-p})$

对 $1/\sqrt{x}$ 中的开根号运算而言，x不可能是负数(负数没法进行开根号运算)，所以默认符号位S恒为0。这样一来，浮点数x在计算机中的二进制可表示如下(其中： $T_{x}$ 和 $E_{x}$ 专门用于特指浮点数x所对应的T字段和E字段)：

$x= (-1)^{0}\times (1+T_{x}\cdot 2^{1-p})\times 2^{E_{x}-b}=(1+T_{x}\cdot 2^{1-p})\times 2^{E_{x}-b}$

在IEEE-754标准中，对于单精度float而言，精度p=24，指数部分的偏移量b=127，则：

$x= (1+T_{x}\cdot 2^{-23})\times 2^{E_{x}-127}$ ，(式6)

2，二进制浮点数x的对数表达式 --- log2(x)

我们对x的二进制浮点数表示(式6)取以2为底的对数，得到：

${log_{2}}^{x}={log_{2}}^{(1+T_{x}\cdot 2^{-23})\times 2^{E_{x}-127}}={log_{2}}^{(1+T_{x}\cdot 2^{-23})}+{E_{x}-127}$

${log_{2}}^{x}={log_{2}}^{(1+T_{x}\cdot 2^{-23})}+{E_{x}-127}$ ，(式7)

使用整体替换，令：

$M_{x}=T_{x}\cdot 2^{-23}$ ，(式8)

把(式8)中的整体替换代入(式7)得到：

${log_{2}}^{x}={log_{2}}^{(1+M_{x})}+{E_{x}-127}$ ，(式9)

3，log2(1+M)的近似

根据IEEE-754的标准，T字段所保存的是trailing significand，即，放大一定精度后的有效数字的尾数或者说是放大一

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