12、图像松弛：恢复与特征提取

图像松弛：恢复与特征提取

1. 松弛的概念

“松弛”最初用于描述求解联立非线性方程的迭代数值技术集合。后来，Rosenfeld和Kak将其扩展到迭代分类方法。其一般定义为：
- 松弛过程是一个多步算法，具有以下特性：
- 单步输出与输入形式相同，可迭代应用该算法。
- 收敛到有界结果。部分研究者还要求对任何元素（在图像应用中为像素）的操作仅依赖于该元素在某个明确定义的有限“邻域”内像素的状态。

2. 图像恢复

在图像恢复问题中，假设理想图像$f$被损坏后得到测量图像$g$，常见的损坏模型是先进行失真操作$D$，再添加随机噪声，即：
$g = D( f ) + n$
其中，$g = [g_1, \ldots, g_N]^T$，$g_i$表示图像$g$列向量表示中的第$i$个像素，$f$和$n$的定义类似。恢复问题就是在已知测量值$g$、失真信息（常称“模糊”）和噪声统计特性的情况下，找到$f$的最佳估计。图像恢复常被视为逆问题，即已知过程的输出，推断输入。

2.1 逆问题与不适定性

一个问题$g = D( f )$若满足以下条件，则被认为是适定的：
- 对于每个$f$，存在解$g$。
- 解是唯一的。
- 解$g$连续依赖于数据$f$。

若上述三个条件不能全部满足，则问题是“不适定的”。不适定性通常由问题的病态性引起，数学问题的条件性通过输出对输入变化的敏感性来衡量。条件数用于衡量问题的条件性，一般定义为：
$条件数 \approx \frac{输出变化}{输入变化}$

对于线性系统$Ax = b$，其条件