【PAT (Advanced Level)】1049. Counting Ones (30)_1049 数列的片段和,满分-优快云博客

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本文介绍了一种高效算法来计算从1到给定正整数N中所有数字中1出现的次数。通过分析每一位上的规律，避免了直接遍历的方法，从而解决了大范围内的计数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1049. Counting Ones (30)

时间限制

10 ms

内存限制

32000 kB

代码长度限制

16000 B

判题程序

Standard

作者

CHEN, Yue

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N (<=2³⁰).

Output Specification:

For each test case, print the number of 1's in one line.

Sample Input:

Sample Output:

这题意思很简单，就是让把从1~N所有经过的数中的‘1’的个数全部加起来。用遍历法可以求出，但有2个case会超时，这里就会涉及到一些优化或者发现规律；

我的做法是，可以按照数的位一位一位求该位所贡献的‘1’的个数；

例如：

12 --> '1'贡献了3次，'2'贡献了2次，所以一共有5个‘1’；

203 --> ‘2’贡献了100次，‘0’贡献了20次，‘3’贡献了21次，所以一共有141个‘1’；

规律其实很简单，个位每10次贡献1个‘1’，十位每百次贡献10个‘1’，百位每千次贡献100个‘1’...依此类推；

利用上诉规律不难写出相应的算法实现，但是要注意的是，没有达到贡献周期的位，要判断该位是否大于1（即是否超过贡献周期）；

例如：

‘12’ 中的‘1’因为没有超过贡献周期，所以只贡献了3个‘1’（即‘10’、‘11’、‘12’中十位的‘1’）而不是10个，而‘2’因为超过了贡献周期中的分界，所以贡献了2个‘1’（即‘1’、‘11’中个位的‘1’）；

具体实现代码如下：

/************************************
This is a test program for anything
Enjoy IT!
************************************/

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <list>
#include <set>
#include <fstream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
	//ifstream cin;
	//cin.open("in.txt");
	//ofstream cout;
	//cout.open("out.txt");
	//
	// TO DO Whatever You WANT!
	int n;
	while (cin >> n)
	{
		int sum = 0;
		int base = 1; // 基数，用来记录第几位
		int m = n;

		while (n != 0) // 每次去掉一位低位
		{
			int temp = n / 10;
			if (n % 10 > 1) // 如果准备去掉的低位大于1，则加上当前位置的基数
				sum += base;
			else if (n % 10 == 1) // 如果地位等于1，则加上原数尾部的个数
				sum += m % base + 1;
			sum += temp * base; // 当前位置所经过的轮数
			base *= 10; // 基数增长
			n /= 10; // 去掉低位
		}
		cout << sum << endl;
	}
	//
	// system("pause");
	return 0;
}