在数论,特别是整除理论中,原根是一个很重要的概念。
对于两个正整数,由欧拉定理可知,存在正整数
,
比如说欧拉函数
,即小于等于 m 的正整数中与 m 互质的正整数的个数,使得
。
由此,在时,定义
对模
的指数
为使
成立的最小的正整数
。由前知
一定小于等于
,若
,则称
是模
的原根。
- 可以证明,如果正整数
和正整数 d 满足
,则
整除 d。[1]因此
整除
。在例子中,当
时,我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。
- 记
,则
模 m 两两不同余。因此当
是模
的原根时,
构成模 m 的简化剩余系。
- 模
有原根的充要条件是
,其中
是奇质数,
是任意正整数。
- 对正整数
,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模n乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zn×的一个生成元。由于Zn×有
个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即
个,因此当模
有原根时,它有
个原根。