挖掘机技术哪家强<numberTheory><欧拉函数>

最新推荐文章于 2020-02-07 20:43:00 发布

ThreePoundGold

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本文介绍了一个有趣的算法问题，涉及使用欧拉函数计算特定数值的“难挖指数”。通过分解质因数的方法，文章提供了一种有效的解决方案。

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挖掘机技术哪家强(shoberu)
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Description

有人问现实中为什么总是男生追求女生，反过来很少。实际上女生也是想主动追求男生的，但是世俗中对于主动追求男生的女生有种歧视，这样就使得女生不大敢主动追求男生。但是面对喜欢的男生，难道就不出手么？女生只能步步为营，挖坑来引诱男生往里跳。这时候问题就来了，挖掘机技术到底哪家强？
被热血沸腾的广告洗脑了若干天后，Matt终于下定决心，毅然登上了开往泉城的列车，决心寻找生活的希望。
来到布鲁谢特学院后，Matt逐渐地了解了各种型号的挖掘机。在这里我们可以认为有大挖掘机和小挖掘机两种。
今天Matt的任务很简单：首先他要用大挖掘机挖出恰好N单位体积的砂土。由于小挖掘机比较笨拙，它每次挖的砂土体积是固定的。也就是说，设每次挖x单位体积砂土，那么N需要被x整除。在挖出若干堆体积为x的砂土后，Matt需要计算x的“难挖指数”。体积x的“难挖指数”定义如下：对于某个不超过x的体积y，如果x与y的最大公约数为1，那我们认为体积y是“难挖的”，x的“难挖指数”就要加上y。
由于Matt之后还需要用小挖掘机处理被大挖掘机挖出的砂土，他希望知道所有可能的x的难挖指数的和，这样他好估算今天要干多久，不然作为布鲁谢特的高才生，他出门要被笑话的。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数。
接下来T行每行一个整数表示N。

Output

对于每个数据输出一行一个整数表示难挖指数的和。

Sample Input

3
2
3
4

Sample Output

2
4
6

Data Constraint

对于30%的数据有T<=20，N<=10^4。
对于60%的数据有T<=100，N<=10^7。

对于100%的数据有1<=T<=1000，1<=N<=10^9。

我花了好一阵子才看完这内(sang)容(xin)丰(bing)富(kuang)的描述，无非是这个意思

定义两个函数 f，g，并求出 g(n)的值：
f(n)=sigma(1<=x<=n,gcd(x,n)=1)x;

g(n)=sigma(1<=i<n,x|n)f(i);

做法：用欧拉函数φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数且φ(1)=1

分解质因数

枚举n的质因子及其所有组合方式（即枚举所有的n的约数），设其组成的值为x，易计算出phi(x)

同时ans+=(phi(x)*x)/2;（因为x以内与x互质的数是一对对的{gcd(x,a)=1那么gcd(x,x-a)=1}）

#include
#include
#include
#include
#include


long long i,j,k,n,x,T,L;

long long fac[31300][2],f[31300][2],st;

long long ans;

long long factorize(long long n){
	long long i,j,k=n;;
	i=2;
	j=0;
	bool p=1;
	while(i<=floor(sqrt(k))){
		if(k % i ==0){
			if(p){
				j++;
				fac[j][0]=i;
			}
			fac[j][1]++;
			k/=i;
			p=0;	
		}else{
			i++;
			p=1;
		}
	}
	if(k==fac[j][0]){
		fac[j][1]++;
	}else{
		fac[++j][0]=k;
		fac[j][1]++;
	}
	return j;
}

long long phi(long long n){
	long long i,j,k=1;
	k*=n;
	for(i=1;i<=st;i++){
		k=(k*(f[i][0]-1))/f[i][0];
	}
	return k;
}


void dfu(long long dep,long long sum,bool _phi){
	long long l=dep+1;
	long long i,j=dep+1,k=sum;
	if(dep>L)return ;
	if(_phi&&sum!=1)ans+=(phi(sum)*sum)/2;else if(sum==1&&_phi)ans++;
	st+=1;
	f[st][0]=fac[dep+1][0];
	for(i=1;i<=fac[j][1];i++){
		k*=fac[j][0];
		f[st][1]=i;	
		dfu(dep+1,k,1);
	}
	st--;
	dfu(dep+1,sum,0);
}

int main(){
//	freopen("x.in","w",stdout);
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);
		ans=0;
		memset(fac,0,sizeof(fac));
		L=factorize(n);
		st=0;
		dfu(0,1,1);		
		printf("%lld\n",ans);
	}
}


//phi(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-pn)