China Northeast Multi-University Training Contest I J - Remoteland

本文探讨了一个模运算问题，涉及数论基础知识，包括寻找最大可能的完全平方数，利用筛素方法和快速幂算法进行求解。特别强调了在数据范围内如何优化算法以避免超时，并通过实例展示了求解过程。文章还揭示了一个关键数学结论，即对于素数模运算，可以直接通过模乘和幂运算来代替逆元操作，简化了计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hust.edu.cn:8080/judge/contest/view.action?cid=6443#problem/J

分数取模问题：

今天在数论方面我得反思一下；还是太弱，在这方面必须加强学习及题目的练习

Description

In the Republic of Remoteland, the people celebrate their independence day every year. However, as it was a long long time ago, nobody can remember when it was exactly. The only thing people can remember is that today, the number of days elapsed since their independence ( D) is a perfect square, and moreover it is the largest possible such number one can form as a product of distinct numbers less than or equal to n.

As the years in Remoteland have 1, 000, 000, 007 days, their citizens just need D modulo 1, 000, 000, 007. Note that they are interested in the largest D, not in the largest D modulo 1, 000, 000, 007.

Input

Every test case is described by a single line with an integer n, ( 1 $\le$ n $\le$ 10, 000, 000). The input ends with a line containing 0.

Output

For each test case, output the number of days ago the Republic became independent, modulo 1, 000, 000, 007, one per line.

Sample Input

Sample Output

4
177582252
644064736

题目如上,这个解题思路是很好想的，不过最后由于知识的遗漏使我们不能过了此题。

题目让我们求的是：用不大于n内的所有数去组成一个尽可能大的完全平方数。

我们现在不过于考虑其他的问题，那么我们很容易想到是求出n！的所有的素数因子的个数，我们选取他们每个最多的偶数个。即如果是奇数个舍掉一个因子，偶数个全要了。

那么得出的乘积绝对是最大的。但是符不符合题意呢？我们担心的是这偶数个因子不一定来自一个数啊！这个仔细想一下会发现，这个是不用担心的，我们偶数个全要，奇数个我们去掉一个，现在我们考虑的是去掉的那些数是否是独立的。如果是独立的那么我们求的结果就符合题意。事实上，由于每个素数最多去掉一个当然拿的出且都是独立的。

那么我们的解题思路就很清晰了：

1.看一下数据范围10000000，那么我们采用筛素的方法也是很快的，在这里我不得不检讨一下，这方面的模版必须准备好的。这个解决！

2.求n！中含有任意一个数的因子个数函数这个是很好求的。这个解决！

3.很明显要用快速幂，但是那所有的素数都调用函数快速幂的求发现是超时的，难道有更好的解法吗？回答是有的。

普通筛素会超时的，必须在原来的基础上的筛素才勉强过：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef int LL;
const int MAX = 10000011;
bool Isprime[MAX];
LL prime[MAX];
LL p_num[MAX];
long long FAC[MAX];
int p_size;
int p_;
const LL mod = 1000000007;

/*
* 题目是让你用不大于n的数，
* （每个数只能用一次）组成
* 一个尽可能大的平方数。我
* 们先不要考虑互不相同这个条件，
* 实际就是找出n!里，能找出最大的
* 平方数因子。我们采取的先把
* n！以内的所有因子找出来，然后
* 求所有因子的个数，偶数全要，奇
* 数的取偶即可。
*/

void get_prime() {
p_size = 0;
memset(Isprime, false, sizeof (Isprime));
for (int i = 2; i < MAX; i++) {
if (!Isprime[i]) {
prime[p_size++] = i;
}
for (int j = 0, t; j < p_size && (t = prime[j] * i) < MAX; j++) {
Isprime[t] = true;
if (i % prime[j] == 0)break;
}
}

FAC[0] = 1;
for (int i = 1; i < MAX; i++) {
FAC[i] = FAC[i - 1] * i % mod;
}
}

void get_p_num(LL n) {
int i;
for (i = 0; i < p_size && prime[i] <= n; i++) {
LL res = 0;
LL temp = n;
while (temp >= prime[i]) {
res += temp / prime[i];
temp /= prime[i];
}
p_num[i] = res;
}
p_ = i;
}

long long quick(LL base, LL p) {
long long temp = base;
long long res = 1;
while (p) {
if (p & 1) {
res = res * temp % mod;
}
temp = temp * temp % mod;
p >>= 1;
}
return res;
}

long long get_ans(LL n) {
long long Mod = 1;
for (int i = 0; i < p_; i++) {
if (p_num[i] & 1) {
Mod = Mod * prime[i] % mod;
}
}
return FAC[n] * quick(Mod, mod - 2) % mod;
}

int main() {
get_prime();
LL n;
while (scanf("%d", &n)) {
if (n == 0) break;
get_p_num(n);
printf("%lld\n", get_ans(n));
}
return 0;
}

现在我们抽象出他的解题思路：

如果a*b=c; mod为素数

A=a%mod; B=b%mod;C=c%mod;

现在我们知道了：B、C求A

这是个神奇的结论：(他都可以代替逆元而解决逆元的问题)

a%mod=c/b %mod;

我们想着用逆元，可是我们无法求b的逆元；

我们只知道：C=c%mod,B=b%mod

A=a%mod=(a*1)%mod=(a%mod)*(1%mod)%mod=(a%mod)*(b^(mod-1)%mod)%mod(有mod为素数和费马小定理b^(mod-1)%mod=1)

=[a*b^(mod-1)]%mod=(a*b)*(b^(mod-2))%mod=c*(b^(mod-2))%mod=(c*mod)*((b%mod)^(mod-2)%mod)%mod=C*B^(mod-2)%mod;

现在我们得到一个重要的结论就是：

(p为素数)a/b%p=(a%p)*(b%p)^(p-2)%p;