初识数论基本概念及oj习题——（上卷）(质数，约数，三张图解析欧拉函数)

质数

1，试除法判定质数(O(根号N)）

题目：试除法判定质数
给定 n 个正整数 ai，判定每个数是否是质数。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个正整数 ai 是否为质数，是则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤231−1
输入样例：
2
2
6
输出样例：
Yes
No
这道题很简单，就不过多介绍了，但是强调一点
时间复杂度是根号N

#include<iostream>
using namespace std;
int n, a;
bool Check_Prime(int a)
{
   
   
    if(a==1)
    return false;
	for (int i = 2; i <= a / i; i++)
	
	{
   
   
		if (a % i == 0) return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
   
   
	cin >> n;
	while (n--)
	{
   
   
		cin >> a;
		if (Check_Prime(a))
			cout << "Yes" << endl;
		else
			cout << "No" << endl;
	}
	return 0;
}

强调上述代码中的 for (int i = 2; i <= a / i; i++)
之所以可以这样写，因为除1之外，因数都是成对出现的，如果有一个因数自然而然就有另外一个因数，所以可以这样写，但是最好不要i*i<=a因为这样有可能会溢出爆掉int

2,分解质因数(O(根号N)）

原题链接：分解质因数
给定 n 个正整数 ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2×109
输入样例：
2
6
8
输出样例：
2 1
3 1

2 3

什么是质因数

质因数就是它的因子是质数，根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。
n=p1^a1 * p2^a2 *p3^a3…pnan
同时还有一个性质，如果一个数字最多只有一个大于sqrt(n)的质因子。
反证法：如果有两个，那么二者相乘便大于n，所以不合理，因此最多只有一个大于sqrt(n)的质因子,所以当除到最后n的值还大于1的话，那么就只剩下唯一的那个大于当时的sqrt(n)。
为什么说大于当时的sqrt(n),因为n的值随着我们求质因子的时候是会改变的，

#include<iostream>
using namespace std;
int n, a;
void divide(int a)
{
   
   
    for (int i = 2; i <= a / i; i++)
    {
   
   
        //如果a能够整除的话，那么i此时一定是质数
        //如果i是合数的话，那么i一定可以化成多个质因子相乘的形式
        //这质因子同时也是a的质因子，而a的质因子在之前已经被除尽了
        //所以i一定不是合数，i是一个质数.

        if (a % i == 0)
        {
   
   
            int s = 0;
            while (a % i == 0)s++,a /= i;//除尽相应的质因子
            //a的值是一直变化的
            cout << i << " " << s << endl;
        }

    }
    if (a > 1)
        cout << a << " " << "1" << endl;
    cout << endl;
}
int main()
{
   
   
    cin >> n;
    while (n--)
    {
   
   
        cin >> a;
        divide(a);
    }
    return 0;
}

如果理解不了可以拿一个例子自己模拟一下。
例如：180 = 2^2*3^2*5;
我们模拟上面的数字，当i = 5的时候此时a变成了5,那么这个时候会直接跳出循环，判断这个时候的a是否大于1就可以了。

3,筛质数

原题链接：筛质数
给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：
8
输出样例：
4

1,朴素做法:O(nlogn)

 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 10000010;
int primes[N];//用来存放质数
int cnt, n;
bool st[N];//判断是否为质数
void Get_prime2(int n)