龙格-库塔方法与亚当姆斯方法相结合求解偏微分方程

实验要求

a. 实现龙格-库塔方法，并验证它的正确性

b. 先用龙格-库塔方法计算前3点，然后实现亚当姆斯预报-校正系统，并验证算法的正确性。

算法介绍

在本次实验中，我们使用最为常用的四阶的龙格-库塔方法，其原理如下图：

再结合四阶亚当姆斯预报-校正系统来增加计算结果的准确性，四阶亚当姆斯预报-

校正系统原理如下图：

根据上述的公式，我们首先实现未经过四阶亚当姆斯预报-校正系统的四阶龙格-库塔方法，之后再

计算前3个点，通过四阶亚当姆斯预报-校正系统计算后续节点。

算法步骤

四阶龙格-库塔方法

1. 定义两个列表分别储存x与y的值，并且令x的初值为最小值;

2. 计算K1 = h * f(x, y);

3. 计算K2 = h * f(x + (h / 2.0), y + (K1 / 2.0));

4. 计算K3 = h * f(x + (h / 2.0), y + (K2 / 2.0));

5. 计算K4 = h * f(x + h, y + K3);

6. 计算y = y + (1.0 / 6) * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4);

7. 将新计算的节点y扩展进y_list中;

8. x = x + h, 进行下一次计算，直到X大于最大值停止计算;

亚当姆斯预报-校正系统

1. 通过四阶龙格-库塔方法计算前3个节点;

2. 计算y1 = f(x - 4*h, y_list[i - 3]);

3. 计算y2 = f(x - 3*h, y_list[i - 2]);

4. 计算y3 = f(x - 2 * h, y_list[i - 1]);

5. 计算y4 = f(x - h, y_list[i]);

6. 计算y_a = y_list[i] + (h / 24) * (55 * y4 - 59 * y3 + 37 * y2 - 9 * y1);

7. 计算y_a = f(x, y_a);

8. 计算y_a = y_list[i] + (h / 24) * (9 * y_a + 19 * y4 - 5 * y3 + y1);

9. 将新计算的节点y_a扩展进y_list中;

10. x = x + h, 进行下一次计算，直到X大于最大值停止计算;算法实现

实现算法所用语言:Python

四阶龙格-库塔方法计算代码

四阶龙格-库塔方法通过亚当姆斯校正系统后代码:

对比函数代码:

实验结果

dy/dx = x + y

准确解: y = -x - 1

未使用亚当姆斯预报-校正系统的四阶龙格-库塔方法:

使用亚当姆斯预报-校正系统的四阶龙格-库塔方法:

dy/dx = -y^2

准确解: y = 1 / (x + 1)

未使用亚当姆斯预报-校正系统的四阶龙格-库塔方法:

使用亚当姆斯预报-校正系统的四阶龙格-库塔：