二叉树（Java）

一、二叉树

1.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

 

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

 

1.2二叉树的基本形态

 

 

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

 

1.3两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点 一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

1.4二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有$2^{i-1}$(i>0)个结点

2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log_2(n+1)上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中_____个叶子节点，_____个非叶子节点，_____个节点只有左孩子，_____个只有右孩子。

 

1.5二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
 int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的根节点
}

1.6二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

 

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

 

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。

2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。

3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

 

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

 

1.6.2二叉树的基本操作

class Node{
    String val;
    Node left;
    Node right;

    public Node(String val){
        this.val=val;
    }
}
class TreeNode{
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    public TreeNode(int val){
        this.val=val;
    }
}
public class BinaryTree {
    //创建一个树
    public static  Node bulid(){
        Node a= new Node("A");
        Node b= new Node("B");
        Node c= new Node("C");
        Node d= new Node("D");
        Node e= new Node("E");
        Node f= new Node("F");
        Node g= new Node("G");

        a.left=b;
        a.right=c;
        b.left=d;
        b.right=e;
        e.left=g;
        c.right=f;
        return  a;
    }
    //1.先序遍历
    public static  void preOrder(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.println(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    //2.中序遍历
    public static void inOrder(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root);
        inOrder(root.right);
    }

    //3.后序遍历
    public static void postOrder(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.println(root.val);
    }

    //使用count，记录元素的个数
    //4.求节点个数
    public static int count=0;

    public static void length(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        count++;
        length(root.left);
        length(root.left);
    }

    public static  int length2(Node root){
        if(root==null){
            return  0;
        }
        return  1+length2(root.left)+length2(root.right);
    }
    //5.求叶子节点个数
    public static int leafSize=0;
    public static void getLeafSize(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        if(root.left==null && root.right==null){
            leafSize++;
        }
        getLeafSize(root.left);
        getLeafSize(root.right);
    }
    public static int getLeafSize2(Node root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null && root.right==null){
            return  1;
        }
        return  getLeafSize2(root.left)+getLeafSize2(root.right);
    }

    //6.获取某一层有多少个节点
    public static int getKleveSize(Node root,int k){
        if(root==null || k<1){
            return 0;
        }
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return  getKleveSize(root.left,k-1)+getKleveSize(root.right,k-1);

    }

    //7.查找节点
    public static  Node find(Node root,String toFind){
        if(root==null){
            return  null;
        }
        if(root.val.equals(toFind)){
            return  root;
        }
        Node result=find(root.left,toFind);
        if(result !=null){
            return  result;
        }
        return find(root.right,toFind);
    }
       //8.求二叉树的高度
    public static int  getHeight(Node root){
        if(root==null){
            return  0;
        }
        int leftHeigth=getHeight(root.left);
        int rigtHeigth=getHeight(root.right);
        return  1+(leftHeigth>rigtHeigth?leftHeigth:rigtHeigth);
    }

}