香农公式

香农定理指出,如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C,那么,在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出:如果R>C,则没有任何办法传递这样的信息,或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
可以严格地证明;在被高斯白噪声干扰的信道中,传送的最大信息速率C由下述公式确定:
C=B*log₂(1+S/N) (bit/s)
该式通常称为香农公式。B是信道带宽(赫兹),或称B是码元速率的极限值(由 奈奎斯特指出B=H,H为 信道带宽,单位Baud);S是信号功率(瓦),N是噪声功率(瓦)。
香农公式中的S/N是为信号与噪声的功率之比,为无量纲单位。如:S/N=1000(即,信号功率是噪声功率的1000倍)
但是, 当讨论信噪比时,常以分贝(dB)为单位。公式如下:
SNR(信噪比,单位为dB)=10 lg(S/N)
换算一下:
S/N=10^(SNR/10)
公式表明,信道带宽限制了比特率的增加,信道容量还取决于系统信噪比以及编码技术种类。

http://baike.baidu.com/view/747964.htm?fr=aladdin
### MIMO 香农公式的概念 多输入多输出 (Multiple Input Multiple Output, MIMO) 技术是一种无线通信技术,通过利用多个发射天线和接收天线来提高信道容量和数据传输速率。MIMO 的核心理论基础之一是香农公式,它描述了在给定带宽和信号噪声比的情况下,理论上可以达到的最大信息传输速率。 对于单输入单输出 (SISO) 系统,经典香农公式表示为 \( C = B \log_2(1 + SNR) \)[^1],其中 \(C\) 是信道容量(单位时间内可传递的信息量),\(B\) 是信道带宽,而 \(SNR\) 表示信号噪声比。 当扩展到 MIMO 系统时,假设存在 \(N_t\) 个发送天线和 \(N_r\) 个接收天线,则系统的总信道容量可以通过矩阵形式表达: \[ C_{\text{MIMO}} = B \cdot E[\log_2(\det(I + HHH^\dagger))] \] 这里 \(H\) 是 \(N_r \times N_t\) 维的信道增益矩阵,代表从发送端到接收端之间的传播特性;\(I\) 是单位矩阵;\(E[]\) 表示期望运算符用于平均化随机变量的影响[^2]。 ### 推导过程概述 为了理解上述公式的由来,可以从以下几个方面入手分析其推导逻辑: #### 1. 基本模型设定 考虑一个简单的 MIMO 平坦衰落信道模型,在该模型下接收到的数据向量 y 可写成如下关系式: ```matlab y = Hs + n; ``` 此处 s 是长度为 \(N_t\) 的发送符号矢量,n 则是一个加性高斯白噪声(AWGN),服从均值零方差 σ² 正态分布。\(^{\dagger}\) #### 2. 协方差矩阵定义 进一步引入协方差的概念,即 R=Es·s† ,这有助于简化后续计算中的统计性质处理部分。基于此设置并结合最大似然估计原理得出最终结论。 #### 应用场景探讨 实际应用中,MIMO 结合 OFDM 成为现代宽带移动通讯标准 LTE 和 WiMAX 中的关键组成部分。这些技术共同作用使得频谱效率得到极大提升的同时也增强了链路可靠性。 ```python import numpy as np def mimo_capacity(H, snr_db): """ Calculate the capacity of a MIMO channel. Parameters: H : array-like Channel matrix with dimensions Nr x Nt. snr_db : float Signal-to-noise ratio in decibels. Returns: Capacity value according to given parameters. """ nr, nt = H.shape I = np.eye(nt) snr_linear = 10**(snr_db / 10.) cov_matrix = (np.dot(H.T.conj(), H)) * snr_linear + I return np.log2(np.linalg.det(cov_matrix)) ```
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