B-树的相关习题（1）

（1）高度为5的3阶B-树至少有（  ）个结点，至多有（   ）个结点。

解： h=5,m=3,根据B-树的性质，除根之外的所有非终端结点至少有⌈m/2⌉=2棵子树（分支），一个分支发射出一个结点，至多有m=3棵子树，结点数只要求出每一层的子树（分支）数即可。

至少：

第1层：   1个结点   

第2层 ：2个结点，B-树定义中，若根结点不是叶结点，至少有2棵子树

第3层 ： 2*2=4个    由第2层的2个结点，每个结点至少发出⌈m/2⌉=2个分支得到 

第4层： 4*2==8    由第3层的4个结点，每个结点至少发出⌈m/2⌉=2个分支得到

......以此类推

第h层：为2的h-1次方，当h=5，也就是第5层有个结点

B树上的结点个数就是将各层的结点数量相加，因此高度为5的B树至少有1+2+4+8+16=31个

至多：

 第1层：   1个结点   

第2层 ：m=3个结点，B-树定义中，树中每个结点至多有m棵子树

第3层 ： =9个    由第2层的m个结点，每个结点至多发出m个分支得到 

第4层： =27 个    由第3层的m个结点，每个结点至多发出m个分支得到

......以此类推

第h层：为m的h-1次方，当h=5，也就是第5层有=81个结点

高度为5的B树至少有1+3+9+27+81=121个

（2）[2013统考真题]在一棵高度为2的5阶B树中，所含关键字的个数至少是（   ）

解：h=2,m=5

思路1：

第1层：1个结点，至少含1个关键字，因为根结点至少有2棵子树，1个关键字

第2层：2个结点，每个结点中至少含⌈m/2⌉-1=2个关键字，共2*2=4个关键字

B树至少含1+4=5个关键字

思路2：对于5阶B树，每个结点至多包含5-1=4个关键字，当关键字达到5时会产生结点分裂，成为高度为2的B树，因此，高度为2的5阶B树中，所含关键字的个数至少是5

（3）[2014统考真题]在一棵具有15个关键字的4阶B树中，含关键字的结点个数最多是（   ）

解：题目要求含关键字的结点个数最多是多少？注意是“最多”

在关键字数量一定的情况下，如果要使结点个数达到最多，则每个结点中包含的关键字数目应该最少。

对于一棵4阶B树而言，每个结点中至少含有⌈m/2⌉-1=1个关键字

15个关键字，每个结点中含1个关键字，则需要15个结点。

15个结点正好构造一个4层的B树。

（4）已知一棵5阶B树中共有53个关键字，则树的最大高度为（   ），最小高度为（   ）

解：m=5,n=53

代入解得：h>=3,h<=4,最大高度为4，最小最高为3

（5）高度为5的3阶B树含有的关键字个数至少是（   ）

解：m=3,h=5,除根结点外，每个非终端结点至少含有⌈m/2⌉-1=1个关键字，根据第（1）题的推导，高度为5的3阶B树至少含有31个结点，每个结点中至少含有1个关键字。因此，高度为5的3阶B树含有的关键字个数至少是31

 （6）含有n个非叶结点的m阶B树中至少包含（   ）关键字

解：根据B树的定义，除根结点外，每个非终端结点到少含有⌈m/2⌉-1=1个关键字

而根结点若不是叶结点至少有两棵子树，也就意味着根结点中至少有1个关键字。

除根结点外，还有n-1个非终端结点，这n-1个非终端结点含有的关键字个数为：（n-1)(⌈m/2⌉-1)

再加上根结点含有的1个关键字，则含有n个非叶结点的m阶B树中至少包含（n-1)(⌈m/2⌉-1)+1关键字