n个人排名，允许并列名次，共有多少种排名结果？

n个人排名，允许并列名次，共有多少种排名结果？

经典问题了，可以考虑递推：
假设n个人，排出了m个名次，有f(n,m)种结果（1<=m<=n）
当m=1
f(n,m)=1

当n<m
f(n,m)=0

当1<m<=n
假设n-1个人，排出了m个名次；新来1人，与前面某名次并列，有f(n-1,m)*m种结果
假设n-1个人，排出了m个名次；新来1人，与前面名次都不并列，有f(n-1,m-1)*m种结果
f(n,m)= f(n-1,m)*m + f(n-1,m-1)*m

综合上述，递推式:
         0                            n<m||m<1
f(n,m) = 1                            1=m<=n
         (f(n-1,m) + f(n-1,m-1))*m    1<m<=n

n个人的排名就是f(n,1)+f(n,2)+f(n,3)+...+f(n,n)

作者：王希
链接：https://www.zhihu.com/question/30200444/answer/47183882
来源：知乎

一、直接动态规划

我们用表示有个人，种名次。那么显然有如下关系成立：

第一条是没有并列的情况，直接全排列；
第二条是全部并列，显然只有1种；
第三条是状态转移方程：当个人排完名次之后加入一个人，有两种情况：

1. 他和某一个或几个人并列，这种情况下之前就已经有个排名了，他可能和这种中的任何一种并列；
   
2. 他有一个新的名词，这种情况相当于他在个空档中选择一个，有种可能。
   

而答案就是对求和。写个程序算一下前几项：

#include <stdio.h>
#define A 15
typedef long long LL;
LL dp[A][A],ans[A],fact[A];
void fac()
{
    for(int i = 1;i < A;i++) fact[i] = (i==1?1:(fact[i-1]*i));
}
void solve()
{
    for(int i = 1;i < A;i++) ans[i] = 0;
    for(int i = 1;i < A;i++)
        for(int j = i;j < A;j++)
        {
            if(i==j) dp[i][j] = fact[i];
            else if(i==1) dp[i][j] = 1;
            else dp[i][j] = i*dp[i][j-1] + i*dp[i-1][j-1];
        }
    for(int i = 1;i < A;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++)
        ans[i] += dp[j][i];
}
int main()
{
    fac();
    solve();
    for(int i = 1;i < A;i++) printf("f[%d] = %lld\n",i,ans[i]);
    return 0;
}