UVa 10006 - Carmichael Numbers

最新推荐文章于 2020-10-22 21:33:13 发布

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本文介绍了一种检测Carmichael数的方法，通过筛素数法判断输入的整数是否为Carmichael数，并利用分治法优化模运算效率。同时，文章详细解释了Carmichael数的性质及检测过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*
数学：素数 + 模运算
Carmichael Number：
1）非素数2）通过 Fermat Pass
所以，程序要完成两个工作。
1） 判断n是否为素数
2） 测试对于 2 <= a <= n-1,是否满足 a^n mod n = a
工作1：由于n很小，可以用筛素数法。
工作2：求a^n mod n,可以使用分冶法优化。
对于任务2还可以优化，a不必取所有 [2,n-1]，只需要取小于n的素数。
证明如下： 如果 a=b*c, b、c为素数。如果b^n mod n = b, c^n mod n = c,
则a^n mod n = (b*c)^n mod n = (b^n mod n ) * (c^n mod n) = bc = a,
所以只需要测试素数即可。
*/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 65004;
int vis[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt = 0;

void set_prime()
{
    int m = sqrt(MAXN) + 1;
    int i;
    for(i=2; i<=m; i++) if(!vis[i]) {
        prime[cnt++] = i;
        for(int j=i*i; j<MAXN; j+=i) {
            vis[j] = 1;
        }
    }
    for(; i<MAXN; i++) {
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
        }
    }
}

int pow_mod(int a, int n, int m)
{
    if(n == 1) return a;
    long long ans =  pow_mod(a, n/2, m);
    ans = ans * ans % m;
    if(n%2 == 1) ans = ans * a % m;
    return (int)ans;
}

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    set_prime();
    int n;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n) {
        if(!vis[n]) {
            printf("%d is normal.\n", n);
            continue;
        }
        int found = 1;
        for(int i=0; prime[i]<n; i++) {
            int a = prime[i];
            if(pow_mod(a, n, n) != a) {
                found = 0;
                break;
            }
        }
        if(found) {
            printf("The number %d is a Carmichael number.\n", n);
        } else {
            printf("%d is normal.\n", n);
        }
    }
    return 0;
}