2、所有有根有序树的生成

所有有根有序树的生成

在树结构的研究中，生成所有有根有序树是一个重要的问题。本文将介绍一种递归算法，用于生成所有有根有序树的子节点序列，并对算法的正确性、复杂度等方面进行分析。

1. 算法概述

使用有根有序树的子节点序列表示法， All-Ordered-Trees 算法通过为每个节点的子节点数量定义下界（lb）和上界（ub），递归地生成长度为 n （每棵树的阶数）的子节点序列的每个元素。为了找到按层划分的子节点序列中每个元素的上下界，算法需要跟踪以下变量：
- rem_nodes_level ：当前层中尚未生成子节点的剩余节点数。
- rem_nodes_next ：下一层中尚未生成子节点的节点数。
- total ：到目前为止生成的树中存在的节点总数。

当前节点生成的子节点数用 i 表示。借助上述变量，算法通过考虑以下三种情况来递归生成所有子节点序列，以找到每个元素的上下界：

1.1 基本情况

当有序树中生成的节点总数等于 n 时，这种情况出现。当满足此条件时，一棵有根有序树的子节点序列（cs）生成完成。因此，递归函数的当前实例在生成整个子节点序列后终止。

1.2 递归情况 1

当前层和下一层中尚未分配子节点的剩余节点数之和等于 1。这表明序列中下一个元素的子节点数下界必须为 1，以便序列能够继续。这种情况可以进一步分为以下两个子情况：
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