4、大规模优化问题求解实战

大规模优化问题求解实战

在优化问题的求解中，尤其是大规模问题，如何高效地找到最优解是一个关键挑战。本文将介绍多种大规模优化问题的求解方法，包括非线性最小化问题和二次最小化问题，并给出具体的操作步骤和代码示例。

1. 非线性最小化问题

1.1 无约束非线性最小化

首先，我们来看一个 1000 变量的无约束非线性最小化问题。代码如下：

xstart = -ones(n,1); 
xstart(2:2:n,1) = 1;
options = optimset('GradObj','on','HessPattern',Hstr);
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(fun,xstart,options); 

这个问题在 8 次迭代和 7 次共轭梯度迭代后收敛，最终函数值和最优性度量都接近零。

1.2 带边界约束和带状预条件器的非线性最小化

目标是最小化非线性函数：
[f(x) = \sum_{i = 1}^{n} (2x_i - 1)x_i - x_{i - 1} - x_{i + 1} + p + \sum_{i = 1}^{\frac{n}{2}} x_i + x_{i + \frac{n}{2}} + p]
其中 (n = 800)，(-10 \leq x_i \leq 10)，(p = \frac{7}{3})，(x_0 = x_{n + 1} = 0)。

操作步骤如下：
1. 编写 M 文件