16、提升多路割问题整数间隙的研究

提升多路割问题整数间隙的研究

1. 引言

在多路割问题中，提升整数间隙是一个重要的研究方向。本文将围绕如何构造实例，使 4 路割实例针对非对向割具有至少 1.20016 的间隙展开探讨。

2. 实例构造与相关定义

• 图的定义 ：考虑图 $G = (V, E)$，其中节点集 $V := \Delta_{4,n}$ 是离散化的三维单纯形，边集 $E_{4,n} := {xy : x, y \in \Delta_{4,n}, |x - y|_1 = 2/n}$。四个终端 $s_1, \ldots, s_4$ 是单纯形的四个顶点，即 $s_i = e_i$ ，$i \in [4]$。
• 割的定义 ：割是一个函数 $P : V \to [5]$，满足 $P(s_i) = i$ ，$i \in [4]$。割集 $\delta(P) := {xy \in E_{4,n} : P(x) \neq P(y)}$。对于节点集 $S$，$\delta(S)$ 表示恰好有一个端点在 $S$ 中的边集。给定权重函数 $w : E_{4,n} \to R^+$，割 $P$ 的成本为 $\sum_{e \in \delta(P)} w(e)$。
• 相关集合定义 ：
  • $L_{ij}$ 表示终端 $s_i$ 和 $s_j$ 之间的边界边。
  • $V_{ij} := {x \in \Delta_{4,n} : Support(x) \subseteq {i, j}}$ 表示终端 $s_i$