2、组合优化中的聚类与阻塞杂凑问题研究

组合优化中的聚类与阻塞杂凑问题研究

一、立方杂凑相关研究

1.1 立方杂凑的定义

对于一个偶数 (n \geq 2)，立方杂凑是定义在基集 ({1, \ldots, n}) 上的杂凑，其中每个成员 (C) 满足 (|C \cap {1, 2}| = |C \cap {3, 4}| = \cdots = |C \cap {n - 1, n}| = 1)。

1.2 相关定理及证明

定理 13

设 (C) 是一个包含 (n) 个元素的理想杂凑，且其成员没有公共元素，令 (\alpha := \min{x^{\top}x : x \in Q(C)})，则 (\alpha \geq \frac{4}{n})。并且，以下两个陈述等价：
- (i) (\alpha = \frac{4}{n})
- (ii) (n) 是偶数，在对基集进行可能的重新标记后，集合 ({1, 2}, {3, 4}, \ldots, {n - 1, n}) 是最小覆盖，且最小基数的成员构成一个定义在基集 ({1, \ldots, n}) 上的理想立方杂凑，其成员没有公共元素。

证明所需引理

• 引理 14 ：如果一个二分图有分数完美匹配，那么它有完美匹配。
• 引理 15 ：对于整数 (n \geq 2)，设 (C) 是定义在基集 ({1, \ldots, n}) 上的杂凑，则以下两个陈述等价：
• (i) (C) 有值为 2 的分数填充，且 (b(C)) 有值为 (\frac{n