poj 1631 Bridging signals 最长上升子序列的O(n*lgn)方法

本文介绍了一种求解最长上升子序列问题的优化算法，通过使用折半查找技巧将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n log n)，并提供了详细的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在普通动规基础上,设一个数组d[i],表示到现在为止长度为i的子序列的末尾数字的最小值.显然对于求最长上升子序列由b[i-1] <= b[i] 则b为有序的,可以只用折半查找，从O(n)降到O(nlgn) 。整体时间由 O(n*n) 降到 O(n * lgn).

代码：

#include <stdio.h>
#include <iostream>

#include <cstring>

using namespace std;
int n;
#define MAX_N 40001

int N[MAX_N];
int bl=0;
int b[MAX_N];
int dp[MAX_N];
/* O(n2)
int solve()
{
	int ret =0;
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int maxl = 0;
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			if(N[j] < N[i] && dp[j] > maxl)
				maxl = dp[j];
		}
		
		dp[i] = maxl+1;

		if(dp[i] > ret)
			ret = dp[i];
	}

	return ret;
}
*/
// O(n lg n) 优化 引入b[n]数组
// b[i] d[i],表示到现在为止长度为i的子序列的末尾数字的最小值. 显然对于求最长上升子序列由b[i-1] <= b[i] 则b为有序的,可以只用折半查找，从O(n)降到O(nlgn) 。整体时间由 O(n*n) 降到 O(n * lgn)
//
void dump()
{
	printf("--------------- b is ------------\n");
	for(int i=0;i<=bl;i++)
	{
		printf("[%d]=%d\t",i,b[i]);
	}
	printf("\n");
}
int solve()
{
	int ret =0;
	dp[0]=0;
	memset(b,0,sizeof(b));
	b[0]=0;

	bl=0;

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l=1,r=bl;		
		int nl=0;
		
		while(l <= r)
		{
			int h=(l+r)/2;
			if(b[h] < N[i])
			{
				l=h+1;

			}
			else if(b[h] > N[i])
			{
				r=h-1;
			}
		}
		
		nl = l;
		dp[i] = nl;
		//dump();
		//printf("N[%d]=%d l=%d nl=%d\n",i,N[i],l,nl);	
		
		if( b[ nl] == 0)
			bl++;

		if( b[nl] == 0 || N[i] < b[ nl ] )
		{
			//printf("\tb[%d]=%d\n\n",nl,b[nl]);
			b[ nl ] = N[i];
		}

	}

	return bl;
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	for(int _t=1;_t<=t;_t++)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			cin>>N[i];

		cout<<solve()<<endl;
	}
}