C/C++ ACM 位运算 二进制枚举

位运算

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二进制算术运算符

1、与（&）

对于两个数的每一个二进制位进行一次与运算
如果两个数对应的二进制位同为1，结果为1，否则为0
例如：

  A = 60(0011 1100) 
  B = 13(0000 1101)
A&B = 12(0000 1100)

2、或（|）

对于两个数的每一个二进制位进行一次或运算
如果两个数对应的二进制位同为0，结果为0，否则为1
例如：

  A = 60(0011 1100) 
  B = 13(0000 1101)
A|B = 61(0011 1101)

3、非/按位取反（~）

对于两个数的每一个二进制位进行一次取反运算
若该二进制位为0，则变成1，为1，则变成0
例如：

 A = 60 (0011 1100)
~A = 195(1100 0011)

4、异或运算（^）

对于两个数的每一个二进制位进行一次异或运算
若两个数对应的二进制位不同，则运算结果为1，相同则为0
例如：

  A = 60(0011 1100)
  B = 13(0000 1101)
A^B = 49(0011 0001)

异或具有以下性质：

• 异或也叫半加运算，其运算法则相当于 不带进位的二进制加法
• 一个数异或同一个数两次，则结果还是原数，即 (a ^ b) ^ b = a
• 0 异或任何数，结果都等于那个数，即 0 ^ a = a

二进制移位操作符

1、左移 (<<)

例如：A=5（0101）
如果向左移动一位，即 A<<1 结果为1010，十进制的10。
二进制中的左移就是乘二操作，在c/c++中左移运算速度比乘二速度要快。

2、右移 (>>)

例如：A=5（0101）
如果向右移动一位即A>>1结果为0010，十进制的2。
二进制中的左移就是除二操作（舍去余数）。

基于以上运算方法，接下来我们就可以进行二进制枚举了。

二进制枚举

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由于 n 位的二进制数有 2ⁿ 个，一个有 n 个元素的集合的子集个数也为 2ⁿ 个
所以可以把二进制的 1 0 和集合中的元素联系起来进行组合。

在二进制枚举时通常采取以下方法：

• 对一个二进制来说 1 代表取这个元素 0 代表不取这个元素
• 1 和 0 所在的位置代表元素的位置

假设有 5 个元素：

• 二进制 00000 代表什么都不取
• 10000 代表取 a
• 01000 代表取 b
• 11000 代表取 a，b
• 所以枚举的范围就是 00000 到 11111，也就是 0 到 1<<n

因此要注意二进制枚举 被枚举元素只能有 2 种情况
例如灯的开关，一种东西取或者不取…

相关题目：大一寒假训练四（二进制枚举）2020.01.03

Code

以一道题为例：
NEFU OJ Problem1205: 和为K–二进制枚举
给出长度为 n 的数组，求能否从中选出若干个，使他们的和为K
如果可以，输出:Yes，否则输出No

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
	int n,k,num[20],sum;
	while(cin>>n>>k)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)cin>>num[i]; //读入数组
		//↓此处算术运算符优先级大于比较运算符，因此可不加括号
		for(int i=0;i<1<<n;i++) //进行枚举，枚举到2的n次幂
		{
			sum=0;
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				if(i&1<<j)sum+=num[j]; //如果本位为1则加到sum中
			}
			if(sum==k) //判断和是否为k
			{
				printf("Yes\n");
				k=-1;
				break;
			}
		}
		if(k!=-1)printf("No\n");
	}
	return 0;
}