本文详细介绍了BF算法和KMP算法，重点讲解了前缀函数的三种计算方法，以及如何通过部分匹配值优化KMP算法的性能。通过实例和代码演示了如何在字符串处理中应用这些技术，包括统计单词数和字符串匹配问题的解决方案。
目录
🌼前言
以下 链接 里的代码，最好自己敲一遍，再去 刷题
BF 算法
字符串基础👇
BF算法👇
BF 代码
最好 O(n)，最坏 O(nm)
/*
s 主串 t 模式串(子串) n 主串长度 t 子串长度
*/
std::vector<int> match(char *s, char *t, int n, int m) {
std::vector<int> ans; // 主串匹配成功的第 1 个下标
int i, j;
for (i = 0; i < n - m + 1; ++i) { // 主串每个位置
for(j = 0; j < m; ++j)
if (s[i + j] != t[j])
break;
if (j == m) ans.push_back(i); // 某个子串匹配成功
}
return ans; // 返回值类型是 vector<int>
}KMP 算法
解释
字符串匹配的KMP算法 - 阮一峰的网络日志 (ruanyifeng.com)
初始， "A" 的共有元素长度为 0，因为必须是 真前缀 和 真后缀，不能是本身
补充理解👇
KMP 有 2 种解释（原理都是，真前缀 和 真后缀，最大共有长度 ---- 即部分匹配值）
解释（1）
部分匹配值，比如说，2，那么子串，要向后移动 m - 2 个位置
m 是子串长度，6 - 2 == 4，对应上面的例子就是👇
解释（2）
部分匹配值 2，那么 主串下标 i 不变，子串下标 j 从 2开始
（即，主串下标 i O(n) 线性往后移动，j 每次从 前缀函数 的位置开始，即 pi[i] 开始，不用从头开始）
意思是，还是👆的图：主串 i 位于 C 的位置，子串 就从 "ABCDABD" 中，下标为 2 的位置开始继续比较，即"ABC"的C（等价于上面的 子串右移 4 个位置）
代码
👆 代码 是 前缀函数 的代码，即 “解释” 中的 部分匹配值 的代码
KMP 代码
（1）前缀函数 -- O(n^3)
比如 "ABCDABD"，返回的 pi[3] 表示 "ABCD" 中，前后缀 的 最大共有长度（不包括ABCD本身）
注：前缀函数，是 KMP 算法的一部分
s.substr(i ,j) 下标 i 开始截取长度为 j 的子串
vector<int> prefix_function(string s) {
int n = (int)s.length();
vector<int> pi(n); // 最大共有长度
for (int i = 1; i < n; ++i) // i 是下标，1 ~ n - 1
for (int j = i; j >= 0; --j) // 模式串长度
if (s.substr(0, j) == s.substr(i - j + 1, j)) { // 前缀 == 后缀
pi[i] = j; // 0 ~ i 的最大共有长度
break; // 因为 j 递减, 第一个取到的一定最大
}
return pi;
}因为 s.substr() 函数，也是线性复杂度，所以
i 从 1 开始，因为 最大共有长度，不能是本身
（2）前缀函数 -- O(n^2)
比较难理解的是，s[i + 1] = s[pi[i]]
这个需要结合前面两个例子理解
新增的字符，需要在前面前缀的基础上
才可能实现，最大相同长度 + 1
首先你得搞懂，vecotr<int> pi(n) 存的是什么
pi[i] 保存的是 0 ~ i，真前后缀的最大相同的长度
由于 主串 下标 i 移动到下一位置时，如果 前缀函数 pi[] 的值要增加，
最多只能 +1（因为新增的字符，一定是在前面前缀的基础上的）
所以 长度 j 只需要从 pi[i - 1] + 1 开始遍历，从上一个位置，最大相同长度 + 1 开始
又 ∵ j--，长度 j 是递减的，pi[i - 1] + 1，是长度 j 可能的最大值
所以只需要修改 j = i --> j = pi[i - 1] + 1 即可
相当于对 p[i - 1] + 1 到 i 这段的 剪枝，这一部分是不必要的
vector<int> prefix_function(string s) {
int n = (int)s.length();
vector<int> pi(n);
for (int i = 1; i < n; ++i) // 下标从 1 到 n-1
for (int j = pi[i - 1] + 1; j >= 0; --j) // 剪枝
if (s.substr(0, j) == s.substr(i - j + 1, j)) {
pi[i] = j;
break;
}
return pi;
}考虑到 j = pi[i - 1] + 1，对长度的限制，以及 长度 j 是递减的
每次只有在最好的情况 pi[i - 1] + 1，比较次数上限才会 +1
而每次超过 1 次的比较，都会消耗之后的比较次数
所以计算前缀函数，只需要 O(n) 次比较，总的时间复杂度
（3）前缀函数 -- O(n)
s[0 ... i] ，下标从 0 到 i 的子串
s[0 ... j - 1] = s[i - j + 1 ... i] ，前缀 = 后缀，长度都为 j
划线部分不是很理解，其他都理解了，，最后得到 状态转移方程，来降低复杂度
下面是代码部分👇
注意这里的 s 是子串
vector<int> prefix_function(string s) {
int n = (int)s.length();
vector<int> pi(n);
for (int i = 1; i < n; ++i) {// 下标 1 ~ n-1
// j 表示 长度
int j = pi[i - 1]; // 上一个位置的前缀函数值（最大长度）
// 状态转移，退出循环时：
//（1）一直失配，直到 j = 0
//（2）匹配成功
while (j > 0 && s[i] != s[j])
j = pi[j - 1]; // 一直回溯
if (s[i] == s[j]) j++;
pi[i] = j; // 当前前缀函数值
}
}解释下第 12 行
if (s[i] == s[j]) j++; 👇这里的 i 即 上一个 j
例如，假设
s[0...i-1]的前缀函数值为j，即pi[i-1] = j。当s[i]和s[j]相等时，我们可以将前缀函数长度增加 1，即j++。然后将新的前缀函数长度j赋值给pi[i]，表示s[0...i]的前缀函数值为j
（4）辅助理解
关于，为什么 KMP 的复杂度是 O(n + m)，详细解释👇
即，为什么 子串 中，下标 j 不是要回溯吗，为什么复杂度只是本身的长度 m 呢
🐋P1308 -- 统计单词数
一般代码中的 next[] 数组，即上面的 pi[] 数组
P1308 [NOIP2011 普及组] 统计单词数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
AC -- s.find()
前置
（1）std::string::npos
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int main() { string s1 = "babajiaoni"; string s2 = "bajiao"; string s3 = "babb"; if(s1.find(s3) == string::npos) //找不到子串 cout<<"找不到子串"<<endl; if(s1.find(s2) != string::npos) //能找到子串 cout<<"能找到子串"; return 0; }（2）
（3）cppreference
pos -- 查找的起始位置
字符串 s 中，下标从 5 开始查找 "is"
返回
Position of the first character of the found substring or npos if no such substring is found
返回子串中第一个字符的位置（主串中），找不到则返回 npos
AC 代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
string t, s;
getline(cin, t);
getline(cin, s); // 读入一行（包括空格）
// 匹配独立的单词，加上空格，便于 find() 匹配
t = ' ' + t + ' ';
s = ' ' + s + ' ';
// 统一变小写
int k = 'a' - 'A';
// 三目 ? :
for (string::size_type i = 0; i < s.length(); ++i)
s[i] = (s[i] < 'a' && s[i] != ' ') ? (s[i] + k) : s[i];
for (string::size_type i = 0; i < t.length(); ++i)
t[i] = (t[i] < 'a' && t[i] != ' ') ? (t[i] + k) : t[i];
// 或者用tolower(t[i]) 大写 toupper(t[i])
if (s.find(t) == string::npos) { // 匹配失败
cout << -1;
return 0;
}
int ans = 0, s_pos = s.find(t); // s 中 t 第一次出现的位置
int temp = s_pos; // 初始位置
while (s_pos != string::npos) {
ans++;
s_pos = s.find(t, s_pos + 1); // 下一位置开始查找
}
cout << ans << " " << temp;
// npos 是它能容纳的最大正值，常表示字符串结束
return 0;
}AC -- BF暴力
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
string t, s;
getline(cin, t);
getline(cin, s); // 读入一行（包括空格）
// 统一变小写
int k = 'a' - 'A';
// 三目 ? :
for (string::size_type i = 0; i < s.length(); ++i)
s[i] = (s[i] < 'a' && s[i] != ' ') ? (s[i] + k) : s[i];
for (string::size_type i = 0; i < t.length(); ++i)
t[i] = (t[i] < 'a' && t[i] != ' ') ? (t[i] + k) : t[i];
// 或者用tolower(t[i]) 大写 toupper(t[i])
vector<int> ans; // 保存答案
int n = s.length(), m = t.length(), i, j;
for (i = 0; i < n - m + 1; ++i) {
for (j = 0; j < m; ++j) {
if (i > 0 && s[i - 1] != ' ') break; // 空格开头
if (s[i + j] != t[j]) break; // 匹配失败
}
// 空格结尾
if (j == m && (s[i+j] == ' ' || i+j == n) )
ans.push_back(i);
}
if (ans.empty()) cout << -1;
else
cout << ans.size() << " " << ans[0];
return 0;
}🦁P3375 -- KMP字符串匹配
P3375 【模板】KMP - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
坑😫
注意，OI -wiki 的代码没问题，不要因为看了大佬 阮一峰 的文字解释，就误认为，可以 j = pi[j]
熟记 状态转移方程，j = pi[j - 1] 即可
else j = pi[j - 1]; 和 j = pi[j - 1]; // 回溯到最大匹配的位置
AC 代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int cnt = 1; // 测试
string s, t;
int pi[1000010]; // 部分匹配数组
// 预处理 next数组 复杂度 O(m)
void prefix(string s) // 前缀函数, 子串 -- 最大共有长度
{
int m = s.size();
for (int i = 1; i < m; ++i) {
int j = pi[i - 1]; // 上一位置的部分匹配值
// 一直回溯 直到 j == 0 或 匹配成功
while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1]; // 状态转移
if (s[i] == s[j]) j++;
pi[i] = j; // 更新当前匹配值
}
}
int main()
{
cin >> s >> t;
int n = s.size(), m = t.size();
int i = 0, j = 0;
prefix(t);
// 主串 与 子串 比较
while (i < n) {
if (j == 0 && s[i] != t[j]) {
i++;
continue;
}
if (s[i] == t[j]) i++, j++;
else j = pi[j - 1];
if (j == m) { // 匹配到子串最后一个字母
cout << i - j + 1 << endl; // 下标 1 开始
j = pi[j - 1]; // 回溯到最大匹配的位置
}
// cout << "(" << cnt++ << ")" <<i << " " << j << endl;
}
// 输出 pi[]
for (i = 0; i < m; ++i)
cout << pi[i] << " ";
return 0;
}
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