力扣 629. K个逆序对数组

最新推荐文章于 2024-10-17 09:44:25 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-17 09:44:25 发布 · 527 阅读

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本文解析了LeetCode题目中关于构造含有k个逆序对的1到n整数数组的动态规划方法，通过状态转移方程dp[i][j]解释了如何递推求解，并展示了关键的dp状态更新过程。

题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/k-inverse-pairs-array/

大致题意：
给定整数 n 和 k，求出用 1 - n 组成的含有 k 个逆序对的不同数组个数
逆序对是指对于第 i 个和第 j 个元素，有 i < j，但是 i 位置的元素大于 j 位置的元素

思路

大概知道是动态规划，但是完全没有解题思路，甚至还读错了题（我以为是要求逆序对的差值为 k，这样有多少个）
然后看题解给我看蒙了，好久才明白。反正就是 dp

DP

既然是 dp，那么就需要找到状态转移方程
使用 dp[i][j] 表示 i 个数组成的含有 j 个逆序对的数组的个数
然后考虑第 i 个数，如何求出当前新加的 i 与之前的 dp 状态的关系

可知放在位置 k （0 <= k <= i - 1）就表示第 i 个数和第 k 个数换位置

如果 i 就放在最后的位置 i - 1，那么显然 dp[i][j] = dp[i-1][j]，因为它是最大的，又放在最后面，不会增加逆序对个数，那么想有 j 个逆序对，就需要前 i - 1 个数形成的逆序对有 j 个
如果 i 就放在开始的位置 0，那么显然逆序对个数增加了 i - 1 个，那么想有 j 个逆序对，就需要前 i - 1 个数形成的逆序对有 j - i + 1 个
如果 i 放在第 k 个位置（0 < k < i - 1），那么位置 k 之后的数都与 i 形成逆序对，有 i - 1 - k 个，那么想有 j 个逆序对，就需要前 i - 1 个数形成的逆序对有 j - i + k + 1个，显然 k 为 0 和 i - 1 时也成立

故
在这里插入图片描述
另 i - 1 - k = t，再将 t 置换为 k，有

f[i][j]
在这里插入图片描述
然后可得 f[i][j] - f[i][j - 1] = f[i - 1][j] - f[i - 1][j - i]
即 f[i][j] 只会从 f[i - 1][…] 和 f[i][…] 得到，可以减少时空复杂度

public int kInversePairs(int n, int k) {
        int MOD = 1000000007;
        // 新一轮的状态只与上一轮有关，因此只存两轮状态即可
        int[][] dp = new int[2][k + 1];
        // 边界条件， 0 个数形成 0 个逆序对只有一种
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 交替变换待更新的当前状态
            int cur = i & 1;
            int prev = cur ^ 1;
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                // 判断，当 dp[i][j] 的 j 小于 0 时，种类为 0
                dp[cur][j] = (j > 0 ? dp[cur][j - 1] : 0) - (j >= i ? dp[prev][j - i] : 0) + dp[prev][j];
                // 取模
                if (dp[cur][j] >= MOD) {
                    dp[cur][j] -= MOD;
                } else if (dp[cur][j] < 0) {
                    dp[cur][j] += MOD;
                }
            }
        }
        return dp[n & 1][k];
    }