01背包问题解析-优快云博客

转自http://blog.youkuaiyun.com/mu399/article/details/7722810

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
    //int mat[11] = {0,2, 2,3, 4, 5, 4,3, 6, 5, 8};//表示有每个物品的重量
    //int val[11] = {0,20,5,12,32,43,2,11,23,98,24};//表示每个物品对应的价值
    int mat[6] = {0,2,2,6,5,4};
    int val[6] = {0,6,3,5,4,6};
    int f[100][1000];//表示f[i][j]前i个物品中选择若干件放在承重为j的背包中，可以取得最大值
    int weight = 10;//表示背包容量是20
    //int bag_value = 0;//求最大价值
    memset(f,0,sizeof(f));

    for(int i=5; i >= 1; i-- )   //从下往上加元素
    {
        for(int j=1 ; j<=weight; j++) //i表示前i个物品
        {
            if(j >= mat[i])
            {
                if(f[i+1][j-mat[i]]+val[i] > f[i+1][j])
                {
                    f[i][j] = f[i+1][j-mat[i]]+val[i];
                }
                else
                {
                    f[i][j] = f[i+1][j];
                }
            }
            else
            {
                f[i][j] = f[i+1][j];
            }
        }
    }
    for(int i=1; i <= 5; i++ )
    {
        for(int j=1 ; j<=weight; j++) //i表示前i个物品
        {
            cout << f[i][j] << " ";
        }
        cout<<endl;
    }
    //cout << f[10][weight] << endl;
    return 0;
}