四.递归

1.定义：方法调用自身。递归算法可以缩小规模，递归方法调用自身，但是参数不一样。递归可以用循环(递推，迭代)或者栈来代替

2.递归三要素：边界条件，递归关系式，参数返回值(递归方法，参数不一样)

3.递归算法的时间复杂度

(1)递归算法的时间复杂度= 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度

　　递归次数和递归深度有关，递归次数就是递归二叉树的节点个数

(2)很多时候，递归可以抽象成一棵二叉树，时间复杂度和二叉树的节点个数有关(递归的次数就是节点的个数)

　　满二叉树节点个数：2ⁿ-1(n代表层数)第i层有：2^i-1个节点

(3)不要一看到递归就想到O(logn)

4.递归算法的空间复杂度

(1)递归算法的空间复杂度 = 递归深度 * 每次递归的空间复杂度

(2)空间复杂度与递归的深度有关：递归深度就是调用栈的深度，就是递归二叉树的深度

 5.递归的每个方法(每次递归)都有自己独立的变量。对于所有递归都操作的同一个变量(共享变量)，应该放在递归方法外面。(二叉树递归遍历)

6.经典递归案例：(1)求阶乘(2)求x的n次方(3)斐波那契

7.空间复杂度：O(1)，O(n)比较多。在递归的时候，会出现O(logn)的空间复杂度

8.递归方法的归就是迭代方法的迭代

9.递归是用栈实现的

10.递归遍历二叉树是，List<Integer>是共享变量，要放在参数中

1.二分查找

(1)非递归实现

 1     public static int binarySerach(int[] arr,int key) {
 2         int left=0;
 3         int right=arr.length-1;
 4         
 5         while(left<=right) {
 6             int mid=(left+right)/2;
 7             if(key==arr[mid])
 8                 return mid;
 9             if(key<arr[mid])
10                 right=mid-1;
11             if(key>arr[mid]) 
12                 left=mid+1;
13         }
14         return -1;
15     }

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 (2)递归实现

 1     public static int binarySerach(int[] arr,int key,int left,int right) {
 2         int mid=(left+right)/2;
 3         
 4         if(left>right)
 5             return -1;
 6         if(key==arr[mid])
 7             return mid;
 8         
 9         if(key<arr[mid])
10             return binarySerach(arr, key, left, mid-1);
11         
12         if(key>arr[mid])
13             return binarySerach(arr, key, mid+1, right);
14         return -1;
15 
16     }

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 2.汉诺塔问题

1     public static void move(int dish,String from,String temp,String to) {
2         if(dish==1)
3             System.out.println("将盘子"+dish+"从塔座"+from+"移动到目标塔座"+to);
4         else {
5             move(dish-1, from, to, temp);////A为初始塔座，B为目标塔座，C为中介塔座
6             System.out.println("将盘子"+dish+"从塔座"+from+"移动到目标塔座"+to);
7             move(dish-1, temp, from, to);//B为初始塔座，C为目标塔座，A为中介塔座
8         }
9     }

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 3.归并排序

4.消除递归

5.递归的有趣应用

(1)求一个数的乘方

(2)背包问题

(3)组合：选择一支队伍

补充：

1.尾递归：只有递，没有归(或者说：只有归，没有递)。和迭代一样