n位2进制数中有连续k个1出现的概率

本文介绍了一种计算方法,用于求解n位二进制数中至少存在连续k个1的概率,并提供了一个Java实现示例。该算法通过逐步移动连续的1并计数来避免重复计算,最终得出概率。

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问题的关键在于如何避免重复计算,比如说有个n位数,开头是连续的k+1个1,其余位为0,它只能被计算一次,而不是2次。

解决的方法是,包含最高位的连续k个1有2^(n-k)种,不包含最高位而包含次高位的连续k个1有2^(n-k-1)种,不包含前2位包含第3位的有。。。这样就不会有重复了

因此,count=2^(n-k)+2^(n-k-1)+...+2^0=2^(n-k+1)-1,概率p=count/2^n = (2^(n-k+1)-1)/2^n


下面程序中没有直接用公式,当然用公式更快

//计算n位2进制中连续k个1出现的概率
public class BinaryProbability {
	
	//n位2进制数中有连续k个1出现的概率
	public static double computeProbablity(int n, int k){
		if(k<1 || n<k) return -1;
		long count = 0;//连续k个1出现的次数
		//n为2进制数看做高位在前,连续k个1从高位移向低位,累计次数(2^低位位数),移动后高位补0,防止重复计算
		for(int i=n-k; i>=0; i--){//i==0也是一种情况,需要考虑到
			count += 1<<i;	//累计次数(2^低位位数)
		}
		double prob = 1.0*count/(1L<<n);
		return prob;
	}
	
	public static void main(String[] args){
		int k=2;
		for(int n=2; n<=6; n++){
			double prob = computeProbablity(n,k);
			System.out.println("n="+n+" count="+(prob*(1l<<n))+" prob="+prob);
		}
	}
}
结果:

n=2 count=1.0 prob=0.25
n=3 count=3.0 prob=0.375
n=4 count=7.0 prob=0.4375
n=5 count=15.0 prob=0.46875
n=6 count=31.0 prob=0.484375



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