2、标准相干态：基础与数学原理

标准相干态：基础与数学原理

1. 薛定谔定义

相干态由薛定谔发现，用狄拉克符号表示为 $|z\rangle$，其中 $z = |z| e^{i\phi}$ 是一个复参数。对于质量为 $m$、频率为 $\omega$ 的一维谐振子，相干态的平均值是经典正弦解，即：
$\langle z|Q(t)|z\rangle = 2l_c|z|\cos(\omega t - \phi)$

相关符号含义如下：
- 特征长度 $l_c = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}$
- 量子态的希尔伯特空间 $H$，经典上可看作质量为 $m$ 的点粒子在实线上运动，并受到常数 $k = m\omega^2$ 的谐波势作用
- 哈密顿量 $H = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2Q^2$
- “位置”算符 $Q$ 和 “动量”算符 $P$ 在量子态的希尔伯特空间 $H$ 中是自伴的
- 它们的对易规则是正则的，即 $[Q, P] = i\hbar I$
- 位置算符的时间演化定义为 $Q(t) = e^{\frac{i}{\hbar}Ht}Qe^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$

2. 量子态的四种表示

量子力学的形式主义允许量子态有不同的表示方式，包括“位置”、“动量”、“能量”（或“数”或福克表示）以及“相空间”（或“解析”或福克 - 巴尔格曼表示）。

2.1 位置表示

最初的薛定谔方法是在位置表示中进行的。算符 $Q$ 是作用在量子实体的波函数 $\Psi(x, t)$ 空间 $H$ 上的乘