马拦过河卒(NOIP2002)_7-5 马拦过河卒csdn-优快云博客

本文介绍了一道经典的算法题目“马拦过河卒”，任务是计算一枚卒子从起点到终点的不同路径数量，同时需要避开被马控制的位置。文章提供了两种解决方法：回溯法和递推法。

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马拦过河卒(NOIP2002)

(2010-05-14 15:57:22)

标签：

杂谈

分类：递归与回溯

Description :

如图，A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。

同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为方马的控制点。例如上图C点上的马可以控制9个点（图中的P1，P2...P8和C）。卒不能通过对方的控制点。
棋盘用坐标表示，A点（0，0）、B点（n, m）(n,m为不超过20的整数，并由键盘输入)，同样马的位置坐标是需要给出的（约定：C≠A，同时C≠B）。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。

Input

B点的坐标（n,m）以及对方马的坐标（X,Y） {不用判错}

Output

一个整数（路径的条数）。

Sample Input
6 6 3 2

Sample Output
17

方法一：用回溯的方法：（分析略，见跳马）

Code
1

//马拦过河卒(NOIP2002)
2

program guoheju;
3

const
4

dx:array[1..8] of integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2);
5

dy:array[1..8] of integer=(1,2,2,1,-1,-2,-2,-1); //马控制的8个
6

方向
8

var
9

n,m,x,y,i,j,ans:longint;
10

g:array[0..20,0..20] of 0..1; //描述棋盘上的点是否受马控制
11

procedure init;
13

begin
14

readln(n,m,x,y);
15

g[x,y]:=1;
16

ans:=0;
17

for i:=1 to 8 do
18

if(x+dx[i]>=0)and(x+dx[i]<=n)
19

and(y+dy[i]>=0)and(y+dy[i]<=m) then
20

g[x+dx[i],y+dy[i]]:=1; //计算存储马的控制点
21

end;
22

procedure try(x,y:integer); //x,y为卒当前所在的位置
24

begin
25

if(x=n)and(y=m) then ans:=ans+1 //到达目标
26

else
27

begin
28

if(y<m)and(g[x,y+1]=0) then try(x,y+1); //向右走
29

if(x<n)and(g[x+1,y]=0) then try(x+1,y); //向下走
30

end;
31

end;
32

begin
34

init;
35

try(0,0);
36

writeln(ans);
37

end.

方法二：用递推的方法：
      当m,n比较小的时候，运用回溯可以求出解，但当m、n比较大的时候，就会超时。
      仔细观察，要到达棋盘上的任意一点，只能从左边和上边两个方向过来。因此，要到达某一点的路径数，等于和它相邻的左、上两个点的路径数和：F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1]。所以我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起始顶点到重点的路径数目，即使有障碍（我们将马的控制点称为障碍），这一方法也完全适用，只要将到达该点的路径数目置为0即可，用F[i,j]表示到达点(i,j)的路径数目，g[i,j]表示点(i, j)有无障碍，递推方程如下：
　　　　　　　　F[0,0] = 1                              //起点
　　　　　　　　F[i,0] = F[i-1,0] 　　　　　　　{i > 0, g[x,y] = 0}//左边界
　　　　　　　　F[0,j] = F[0,j-1] 　　　　　　　{j > 0, g[x,y] = 0}//上边界
                      F[i,j] = 0 　　　　　　　　　　 { g[x,y] = 1 } //障碍点
　　　　　　　F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1]　 {i > 0, j > 0, g[x, y] = 0}//递推式