随机算法1之概率算法

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#算法 #random #pivot #object #语言 #2010

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本文探讨了概率算法中的关键概念，包括随机数生成、数π概率算法、定积分计算、非线性方程组解法、舍伍德算法、拉斯维加斯算法、蒙特卡罗算法的应用实例及原理，以及它们在计算机科学领域的实际应用。

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原帖：http://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/11/11/1874924.html

一、随机数

　　随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。

线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列a0,a1,…,an满足

　　其中b >= 0，c >= 0，d <= m。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容，已超出本书讨论的范围。从直观上看，m应取得充分大，因此可取m为机器大数，另外应取gcd(m, b) = 1，因此可取b为一素数。

二、数值概率算法

1、用随机投点法计算pi值

　　设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为(PI * pow(r,2)) / (4 * pow(r,2)) = PI / 4 。所以当n足够大时，k与n之比就逼近这一概率。从而，PI 约等于 (4*k)/n.如下图：

实现：

代码

     
      /*
       主题：随机投点法计算PI值
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.11.11

      */
      
#include 
      <
      iostream
      >
      
#include 
      <
      cstdlib
      >
      
#include 
      <
      limits
      >
      

      using
      namespace
       std;


      //
       获得0-1之间的随机数
      

      double
       get_random_num ()
{
    
      return
       (
      double
      )rand () 
      /
       RAND_MAX ;
}

      //
       用随机投点法计算 PI
      

      double
       darts (
      int
       n)
{
    
      int
       k 
      =
      0
       ;
    
      for
       (
      int
       i 
      =
      0
      ; i 
      <
       n; 
      ++
       i) {
        
      double
       x 
      =
       get_random_num() ;
        
      double
       y 
      =
       get_random_num() ;
        
      if
       ((x 
      *
       x 
      +
       y 
      *
       y) 
      <=
      1.0
      ) {
            
      ++
       k ;
        }
    }
    
      return
       (
      4
      *
       k) 
      /
       (
      double
      )n ;
}

      int
       main()
{
    cout 
      <<
       darts (
      200000000
      ) 
      <<
       endl ;
}

2.计算定积分

设f(x)是[0，1]上的连续函数，且0 <= f(x) <= 1。

需要计算的积分为，积分I等于图中的面积G。

在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的概率为

假设向单位正方形内随机地投入n个点(xi,yi)。如果有m个点落入

G内，则随机点落入G内的概率

假定 f(x) = x * x (0 <= x <= 1)计算定积分

实现：

代码

     
      /*
       主题：随机投点法计算定积分
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.11.11

      */
      
#include 
      <
      iostream
      >
      
#include 
      <
      cstdlib
      >
      

      using
      namespace
       std;


      //
       获得0-1之间的随机数
      

      double
       get_random_num ()
{
    
      return
       (
      double
      )rand () 
      /
       RAND_MAX ;
}

      //
       用随机投点法计算 y = pow(x,2)定积分
      

      double
       darts (
      int
       n)
{
    
      int
       k 
      =
      0
       ;
    
      for
       (
      int
       i 
      =
      0
      ; i 
      <
       n; 
      ++
       i) {
        
      double
       x 
      =
       get_random_num() ;
        
      double
       y 
      =
       get_random_num() ;
        
      if
       (y 
      <=
       x 
      *
       x) {
            
      ++
       k ;
        }
    }
    
      return
       k 
      /
       (
      double
      )n ;
}

      int
       main()
{
    cout 
      <<
       darts (
      10000000
      ) 
      <<
       endl ;
    
      return
      0
      ;
}

3.解非线性方程组

求解下面的非线性方程组

其中，x1,x2,…,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,…,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解

在指定求根区域D内，选定一个随机点x₀作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中，假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为x_j。在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量Dx_j。从当前点x_j依Dx_j得到第j+1步的随机搜索点。当x<e时，取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。

三、舍伍德(Sherwood)算法

设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为

这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。

例如：线性时间选择

// 在数组a从l到r之间的子序列上，寻找第k小元素

select(Type a[], int l, int r, int k){

// 从l到r任意选取一个元素，放在l上，用 pivot 表示

// 从l + 1到r之间，找到元素j，使得j左边的元素都小于pivot;j右边的元素都大于pivot

// 那么，或者pivot是要找的元素(k=j-l+1)

// 或者要找的元素在l,j之间(k<j-l+1)

// 或者要找的元素在j+1,r之间(k>j-l+1)

}

有时也会遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。例如，对于确定性选择算法，可以用下面的洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。

洗牌算法实现：

代码

     
      /*
       主题：随机洗牌算法
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.11.11

      */
      
#include 
      <
      iostream
      >
      
#include 
      <
      cstdlib
      >
      
#include 
      <
      iterator
      >
      
#include 
      <
      algorithm
      >
      

      using
      namespace
       std;

template 
      <
      class
       T
      >
      

      void
       my_shuffle (T
      *
       arr, 
      int
       len)
{
    
      for
       (
      int
       i 
      =
      0
      ; i 
      <
       len; 
      ++
       i) {
        
      int
       r 
      =
       rand() 
      %
       len ;
        swap (arr[i], arr[r]) ;
    }
}


      int
       main()
{
    
      const
      int
       len 
      =
      10
       ;
    
      int
       arr[len] ;
    
      for
       (
      int
       i 
      =
      0
      ; i 
      <
       len; 
      ++
       i) {
        arr[i] 
      =
       i ;
    }

    my_shuffle (arr, len) ;
    cout 
      <<
      "
      my_shuffle: 
      "
      ;
    copy (arr, arr 
      +
       len, ostream_iterator
      <
      int
      >
       (cout, 
      "
      "
      )) ;
    cout 
      <<
       endl ;

    
      for
       (
      int
       i 
      =
      0
      ; i 
      <
       len; 
      ++
       i) {
        arr[i] 
      =
       i ;
    }

    random_shuffle (arr, arr 
      +
       len) ;
    cout 
      <<
      "
      stl->random_shuffle: 
      "
      ;
    copy (arr, arr 
      +
       len, ostream_iterator
      <
      int
      >
       (cout, 
      "
      "
      )) ;
    cout 
      <<
       endl ;
    
      return
      0
      ;
}

四、拉斯维加斯(Las Vegas)算法

void obstinate(Object x, Object y)

{

// 反复调用拉斯维加斯算法LV(x,y)，直到找到问题的一个解y

bool success= false;

while (!success) success = lv(x,y);

}

　　设p(x)是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有 p(x) >0。设t(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有 t(x) = p(x) * s(x) + (1-p(x))(e(x) + t(x))

解此方程可得：