线性代数笔记12：二次型与函数极值

这一节我们将看见，如何将数值函数用矩阵表示，并使用正定矩阵来指示函数的极值。

二次型

1. 定义：对$n$维实向量$x$及$n$阶实对称矩阵$A$，称以下数值函数为一个实二次型（quadratic form），为一个二次齐次多项式。

   $$f(x) = x^TAx = \sum\limits_{i =1}^n \sum\limits_{j =1}^na_{ij}x_ix_j$$

2. 对$n$维复向量$x$以及$n$阶复矩阵$A$且$A = \bar A^T(Hermitian)$，则称$f(x ) = \bar x^T Ax$为复二次型。

3. 若$n$阶矩阵$D$为对角阵，则称二次型为对角型的：

   f(x)=xTDx=∑i=1n