高效面试之位运算

一.技巧

1.特殊数&或者!

2.本身异或为0，与0异或为本身，满足交换律

例：不借助第三数 交换两数

3.取反加1

求相反数

4.巧妙分组处理(16bit位的数)

分为8组（分组需要与0xAAAA或者0x5555相与，交换位置需要移动1位）

a&0xAAAA                    1010,1010,1010,1010

 (a&0xAAAA)>>1            1010,1010,1010,1010  

a&0X5555                      0101,0101,0101,0101

(a&0X5555)<<1          0101,0101,0101,0101 

 (a&0xAAAA)>>1  | (a&0X5555)<<1

分为4组（分组需要与0xCCCC或者0x3333相与，交换位置需要移动2位)

a&0xCCCC                       1100,1100,1100,1100.

(a&0xCCCC)>>2                  1100,1100,1100,1100

0x3333                              0011,0011,0011,0011

                                     0011,0011,0011,0011

分为2组（分组需要与0xF0F0或者0x0F0F相与，交换位置需要移动4位)

0xF0F0                     1111,0000,1111,0000.    

                                         1111,0000,1111,0000. 

                                 0000,1111,0000,1111

                         0000,1111,0000,1111

分为1组（分组需要与0xFF00或者0x00FF相与，交换位置需要移动8位)

  0XFF00               1111,1111,0000,0000.   

                 0000,0000,1111,1111

5.异或模拟加法

0&0=0；0&1=0； 1&0=0； 1& 1 = 1

0|0=0;     0|1=1;      1|0=1;     1|1=1;

0^0=0;   0^1=1;     1^0=1;    1^1=0;

异或运算是不是和二进制加法很像,缺少进位而已？后面用逻辑运算实现加法讲解

6.常用等式

（1）-n=~（n-1）=~n+1 //求绝对值使用

（2）获取n的二进制中最后一个1：n&(-n)或者n&~(n-1),例如，n=010100,-n=101100，n&(-n)=000100//乘法运算中应用

（3）去掉n的二进制中最后一个:n&（n-1）,例如，n=010100,n-1=010011,n&(n-1)=010000 //求二进制中1的个数使用

二.例子

1. 高低位交换

i= (i<<8) | (i>>8);//核心代码，把i左移N位，i右移M位，进行位运算，是一个比较常用的方式    

2.二进制逆序

用1个字节来想，比较好像

/*以1个字节为整体，进行交换*/

   a = ((a & 0xAAAA) >> 1) | ((a & 0x5555) << 1); //1010,1010,1010,1010.    0101,0101,0101,0101

/*以2位为整体，进行交换*/ 
   a = ((a & 0xCCCC) >> 2) | ((a & 0x3333) << 2);  //1100,1100,1100,1100.    0011,0011,0011,0011

/*以4位为整体，进行交换*/  
   a = ((a & 0xF0F0) >> 4) | ((a & 0x0F0F) << 4);    //1111,0000,1111,0000.    0000,1111,0000,1111

/*以8位为整体，进行交换*/ 
    a = ((a & 0xFF00) >> 8) | ((a & 0x00FF) << 8);   //1111,1111,0000,0000.    0000,0000,1111,1111

3．  二进制中1的个数

 

  x=((x & 0XAAAA) >> 1)+(( x & 0X5555 )); //2位为1组，共8组，高1位和低1位相加。   

  x=((x & 0XCCCC) >> 2)+(( x & 0X3333 ));//4位为1组，共4组，分成高2位和低2位相加   
  x=((x & 0XF0F0) >> 4)+(( x & 0X0F0F ));//8位为1组，共2组，分成高4位和低4位相加   
  x=((x & 0XFF00) >> 8)+(( x & 0X00FF )); //16位为1组，共1组，分成高低组；高8位，与低8位相加 

4.不借助第三个数交换两数

void Swap(int &a, int &b)

{

 if (a != b)

 {

          a ^= b;

          b ^= a;

          a ^= b;

 }

}

5.缺失的数

data[N]={1,2,1,2,3,3,5,4,5};

         i^=data[i];   //自身异或为0

题目收集：

1.最有效的计算2*8的方法是什么？

2<<3

引申：如何快速求取一个整数的7倍？

(x<<3)-x

注意-的优先级高于<<

2.如何实现位操作求两个数的平均值?

(x+y)/2

解：

(x&y)+((x^y)>>1)

x&y表示的是取出x与y二进制位数中都为‘1’的所有位。(0&0=0；0&1=0； 1&0=0； 1& 1 = 1)

x^y表示的是x与y中有一个为'1'所有位，右移1位相当于执行除以2。(0^0=0;   0^1=1;     1^0=1;    1^1=0;)

整个表达式实际分为2部分，第一部分都是'1'的部分，直接相加。第二部分，有一个为1 的，加起来除以2.

每个二进数都可以分解为各个位与其权的乘积的和，把两个数的分解为这样的多项式进行相加。考虑两个数的二进制序列中相同的位与不同的位：将相同的位进行相加，结果等于两数按位与的结果的两倍；将不同的位进行相加，其结果等于按位异或的结果。
      举例，10的二进制是：1010.     6的二进制是：0110.

      1010 = 1*2的3次方 + 0*2的2次方 + 1*2的1次方 + 0*2的0次方

       0110 = 0*2的3次方 + 1*2的2次方 + 1*2的1次方 + 0*2的0次方

那么，算1010 + 0110时，就可以让对应的项分别相加（即幂相同的项分别相加），再求总和。

这样的话，如果某次幂，两个系数一个为0，一个为1，那么相加之后一定为1*2的n次方，而这整好可以通过两个数的按位异或得到；如果某次幂，两个系数均为1，相加之后为2*2的n次方，除以2，应该为1*2的n次方.而两个数按位与记为所求。

这种方法避免了应用Avg=（x+y)）/2时，x+y造成的溢出

引申：如何利用位运算求计算式的绝对值？

int myABS(int x)

{

    int y;

    y=x>>31;//负数右移31，为0xffffffff。正数为0x00000000

    return (x^y)-y;

}

如果iNum是正数：
         temp = temp >> 31; //temp = 0
         out = out ^ temp; //与0异或不变
         out = out - temp; //减0不变
 
out的结果就是iNum，即正数的绝对值是其本身，没问题
 
如果iNum是负数:
         temp = temp >> 31; //temp = oxffffffff
         out = out ^ temp; //out为iNum求反
         out = out - temp; // 此时temp = 0xffffffff = -1, 所以out = out + 1
把一个负数的补码连符号位求反后再加1，就是其绝对值了。比如对于-2来说：

原码	反码	补码	补码全求反	再加1	备注
10000010	11111101	11111110	00000001	00000010

大家可以看到第一个与最后一个数只有符号位不同，也就实现了求其绝对值。

任何数与1111（全1）异或，其实就是把x中的0和1进行颠倒。

3.如何求整形数的二进制表示的1的个数？

方法一：

int func(int x)

{

    int count;

    while(x)

    {

            count++;

            x=x&(x-1);

    }

}

有几位bit为1，程序循环几次。

从右向左数，找到第一个1，把1后面的所有的数字都变为0。如x=1000110，x&(x-1)=1000100就是把x右边的第一个1后面的数变为0

方法二：

int func(unsigned int x)

{

    int count;

    while(n)

    {

            count+=x&0x1u;

            x>>=1;

    }

}

循环次数为x的bit位数。这种方法的缺陷就是，1比较稀疏的时候，效率会低。

4.如果不用sizeof,如何判断系统是16位还是32位？

解：

16位机器，int为2字节，最大值为65535

unsigned int a=~0;

if(a>65536)

    printf("32位")；

5.如何判断大段，小段？

int checkCPU()

{

    unsigned short data=0x1122;

    unsigned char *p=(unsigned char*)&data;

    return (*p==0x22);

}

定义1个short型data，用一个char*指针，指向data.判断第一个字节的内容

6考虑n位二进制，有多少个数中不存在两个相邻的1？

定义n时为a(n)个。那么,

1)n位为0时，有a(n-1)个数。

2)n为1时，第n-1位必然为0,有a(n-2)个数，

因此有a(n)=a(n-1)+a(n-2)

满足斐波拉契数列

a(n)=a(n-1)+a(n-2)

7.不用除法操作如何实现两个正整数的除法？

采用移位操作

引申：用逻辑运算实现加法运算？

int add(int num1,int num2)

{

    int sum=0;

    int num3=0;

    int num4=0;

    while((num1&num2)>0)

    {

        num3=num1^num2;//异或模拟二进制加法，不处理进位

        num4=num1&num2;//与运算1&1=1，再移位，来处理进位。

        num1=num3;

        num2=num4<<1;

    }

    sum=num1^num2;

    return sum;

}

递归更简洁：

int add(int num1,int num2)

{

        if(0==num2) return num1;//收敛条件

        int sumtemp=0;

        int carry=0;

        sumtemp=num1^num2;//异或模拟二进制加法，不处理进位

        carry=(num1&num2)<<1;//与运算1&1=1，再移位，来处理进位。

        return add(sumtemp,carry);

    }

    sum=num1^num2;

    return sum;

}

用逻辑运算实现乘法运算？

二进制 1011*1010

分成：1011*1000+1011*0010=1011<<3+1011<<1

int multipy(int a,int b)

{

    bool neg=(b<0);

    if(b<0) b=-b;

    int sum=0;

    map<int,int>bit_map;

    for(int i=0;i<32;i++)

        bit_map.insert(pair<int,int>(1<<i,i));

    while(b>0)

    {

        int last_bit=bit_map[b&~(b-1)];

        sum+=(a<<last_bit);

        b&=b-1;

    }

    if(neg)

        sum=-sum;

    return sum;

}

实现求整求余数运算？

n/32    即n>>5

n % 32 即 n & (32-1)