【DP】BZOJ4347[POI2016]Nim z utrudnieniem

最新推荐文章于 2021-03-03 15:41:02 发布

冬日阳光下的一只猫

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分类专栏： DP 文章标签： bzoj4347 dp poi2016

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本文深入探讨了一款策略游戏的解决方案，通过分析石子堆的异或值来确定最优弃石策略，以确保玩家在特定规则下赢得比赛。通过排序、动态规划和优化内存使用，实现高效算法解决复杂问题。

一道权限题/(ㄒoㄒ)/~~无法传送

Time Limit: $30$ Sec Memory Limit: $64$ MB
Description
A和B两个人玩游戏，一共有 $m$ 颗石子，A把它们分成了 $n$ 堆，每堆石子数分别为 $a[1],a[2],...,a[n]$ ，每轮可以选择一堆石子，取掉任意颗石子，但不能不取。谁先不能操作，谁就输了。在游戏开始前，B可以扔掉若干堆石子，但是必须保证扔掉的堆数是 $d$ 的倍数，且不能扔掉所有石子。A先手，请问B有多少种扔的方式，使得B能够获胜。
Input
第一行包含两个正整数 $n$ , $d$ ( $1<=n<=500000$ , $1<=d<=10$ )
第二行包含 $n$ 个正整数 $a[1],a[2],...,a[n]$ ( $1<=a[i]<=1000000$ )。
本题中 $m$ 不直接给出，但是保证 $m<=10000000$ 。
Output
输出一行一个整数，即方案数对 $10^9+7$ 取模的结果。
Sample Input
$5$ $2$
$1$ $3$ $4$ $1$ $2$
Sample Output
$2$

知识储备：当这些堆的石子数的异或值为 $1$ 时，先手必胜，否则先手必败。
于是乎，此题就变为删去 $d$ 的倍数堆石子，使得剩下的石子的异或值为 $0$ 。
令 $dp[i][j][k]$ 表示删去前 $i$ 个中的若干堆 $k=cnt%d$ 的异或值为 $j$ ，那么dp[i+1][j][(k+1)%d]+=dp[i][j^num[i]][k]。
然后我们发现将 $a$ 排序后，转移时的有效状态并不会达到 $j$ 这么大，最多达到 $2*a[i]$ 。这样再用上滚动数组就不会超时了。~(≧▽≦)/~

然而当我们看一看内存时就发现这题卡内存QAQ
再想想其实是不需要开滚动数组，就像背包一样是不需要第一维的。
但这样有一些值会被提前更新，不再是原来的值。然而这样的值只有f[k][0]，把它用另一个数组存下来就行了。

AC~(≧▽≦)/~啦啦啦
自动撒花（雾

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN 1<<20
#define mod 1000000007
using namespace std;

int n, m, d, f[11][MAXN], sum, temp[MAXN];
int num[500005];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&d);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
        sum^=num[i];
    }
    sort(num+1,num+n+1);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1, bit=1, x;i<=n;++i)
    {
        x=num[i];
        while (bit<=x) bit<<=1;
        for(int k=0;k<bit;++k)
        {
            temp[k]=f[d-1][k^x]+f[0][k];
            if(temp[k]>=mod)temp[k]-=mod;
        }
        for(int j=d-1;j;--j)
            for(int k=0;k<bit;++k)
            {
                f[j][k^x]+=f[j-1][k];
                if(f[j][k^x]>=mod)f[j][k^x]-=mod;
            }
        for(int k=0;k<bit;++k)
            f[0][k]=temp[k];
    }
    int ans=f[0][sum];
    if(n%d==0)
    {
        --ans;
        if(ans<0)ans+=mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}