【学习笔记】「JOISC 2022 Day1」错误拼写-优快云博客

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文章描述了一种字符串处理问题，其中涉及到动态规划和前缀和的使用。作者指出，当遇到字符串中连续段的比较时，可以利用前缀和避免数据结构的使用。通过定义状态转移并处理特殊情况，实现了复杂度为O(26n)的解决方案。代码示例展示了如何在C++中实现这个算法。

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显然只用考虑 $[i : j]$ 这一段拼成的串。不难得出结论：设 $nxt_i$ 表示 $i$ 之后第一个本质不同的字符的位置，那么 $nxti≤jnxt_i\le j$ ，并且 $s_i?s_{nxt_i}$ ，或者 $nxt_i>j$ 。

我真傻，真的。这题恶心的地方在于转移，我们希望避免数据结构的使用。

注意到， $s_i=s_{i-1}$ 始终是一个合法的转移。这意味着， $i - 1$ 的状态可以直接照搬到 $i$ 。那么，考虑当 $s_i<s_{i-1}$ 时，假设 $s_i$ 的连续段到了 $k$ ，那么只需满足不存在 $k≤l<i，r≥ik\le l<i，r\ge i$ ，并且 $s_i>s_{i-1}$ 的限制 $[l, r]$ 。显然 $k$ 的取值范围是一段后缀，可以前缀和解决。当然还应该满足 $sk≠sk−1s_k\ne s_{k-1}$ ，这可以通过修改 $d p$ 状态定义来解决。这道题就做完了。

复杂度 $O (26 n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=5e5+5;
int n,m;
ll sub[N][26],isub[N][26];
vector<pair<int,int>>G[N];
multiset<int>s1,s2;
void add(ll &x,ll y){x=(x+y)%mod;}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		if(l<r){
			G[r].pb({l,0});
			s1.insert(l);
		}
		else{
			G[l].pb({r,1});
			s2.insert(r);
		}
	}
	for(int i=0;i<26;i++)sub[1][i]=i+1;
	for(int i=0;i<26;i++)isub[1][i]=26-i;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(auto x:G[i-1]){
			if(x.se==0){
				s1.erase(s1.find(x.fi));
			}
			else{
				s2.erase(s2.find(x.fi));
			}
		}
		auto it=s1.lower_bound(i);
		int lmax=(it!=s1.begin())?(*--it):0;
		for(int j=1;j<26;j++){
			add(sub[i][j],sub[i-1][j-1]-sub[lmax][j-1]);
			add(isub[i][j],sub[i-1][j-1]-sub[lmax][j-1]);
		}
		it=s2.lower_bound(i);
		lmax=(it!=s2.begin())?(*--it):0;
		for(int j=0;j<25;j++){
			add(sub[i][j],isub[i-1][j+1]-isub[lmax][j+1]);
			add(isub[i][j],isub[i-1][j+1]-isub[lmax][j+1]);
		}
		for(int j=1;j<26;j++)add(sub[i][j],sub[i][j-1]);
		for(int j=24;j>=0;j--)add(isub[i][j],isub[i][j+1]);
		for(int j=0;j<26;j++){
			add(sub[i][j],sub[i-1][j]);
			add(isub[i][j],isub[i-1][j]);
		}
	}
	cout<<(sub[n][25]+mod)%mod;
}