【树形dp】 [POI2014] FAR-FarmCraft

最新推荐文章于 2022-06-21 23:13:32 发布

原创最新推荐文章于 2022-06-21 23:13:32 发布 · 189 阅读

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#动态规划 #算法

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这篇博客介绍了如何使用树形动态规划（DP）和贪心策略来解决树形结构中最短路径的问题。文章首先定义了$f[u]$表示从节点$u$出发，遍历其子树的最短时间，并通过比较子节点的遍历顺序来优化时间。接着，通过比较相邻子节点的$f[]$和$tim[]$的差值，证明了最优解中孩子的遍历顺序应按$tim[]-f[]$从小到大排序。最后，给出了AC代码实现这一算法，通过DFS遍历并排序子节点来找到最短路径。

在这里插入图片描述
思路：
由于是树形结构，我们直接考虑树形dp。
定义 $f [u]$ ，表示从 $u$ 出发，走完 $u$ 的子树花费的最短时间，也就是子树中每一个点（走到的时间+点权）的最大值。
我们考虑如何转移，用 $t i m [u]$ 表示走完 $u$ 的若干子节点所代表的子树，返回 $u$ ，所花费的时间。
那么有 $f [u] = m a x (f [u], f [v] + t i m [u] + 1)$ ，我们发现这个转移方式和子节点的遍历顺序有关。
考虑 $u$ 的两个子节点 $x$ 和 $y$ ，假设 $x$ 比 $y$ 先被遍历到。
那么有 $x$ 和 $y$ 对于 $f [u]$ 的贡献为：
$m a x (t i m [u] + 1 + f [x], t i m [u] + t i m [x] + 2 + 1 + f [y])$
我们把 $x, y$ 交换一下位置，那么贡献变为：
$m a x (t i m [u] + 1 + f [y], t i m [u] + t i m [y] + 2 + 1 + f [x])$
把上下两式的 $t i m [u] + 1$ 都去掉之后，得到以下两式子：
$m a x (f [x], t i m [x] + 2 + f [y])$
$m a x (f [y], t i m [y] + 2 + f [x])$
假设我们交换之后结果更优，那么有 $m a x (f [x], t i m [x] + 2 + f [y]) > m a x (f [y], t i m [y] + 2 + f [x])$
又因为 $f [x] < t i m [y] + 2 + f [x], f [y] < t i m [x] + 2 + f [y]$ ，那么可以得到 $t i m [x] + 2 + f [y] > t i m [y] + 2 + f [x]$ ，即 $t i m [x] - f [x] > t i m [y] - f [y]$
那么也就是说，只要有相邻的两个孩子 $x, y$ 满足 $t i m [x] - f [x] > t i m [y] - f [y]$ ，我们就可以将其交换并且结果更优，那么最优解中孩子的遍历顺序就是按照 $t i m [] - f []$ 从小到大排序的顺序。
那么我们就可以用贪心来做，每一次把孩子排个序之后再遍历。
其中， $tim[u]=∑vtim[v]+2tim[u]=\sum_{v}tim[v] + 2$

AC代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 500005;

int n;
int c[N];
int tim[N];
struct edge
{
	int to, next;
}e[N << 1];
int head[N], cnt;
int w[N];
int tmp[N];
LL f[N];

void add(int u, int v)
{
	e[ ++ cnt ] = {v, head[u]};
	head[u] = cnt;
}

bool cmp(int x, int y)
{
	return tim[x] - f[x] < tim[y] - f[y];	
}

void dfs(int u, int ff)
{
	if (u != 1) f[u] = w[u];
	int cnt = 0;
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].next)
	{
		int v = e[i].to;
		if (v == ff ) continue;
		dfs(v, u);
		
	}
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].next)
		if (e[i].to != ff) 
			tmp[++ cnt] = e[i].to;
	sort(tmp + 1, tmp + 1 + cnt, cmp);
	
	for (int i = 1; i <= cnt; i ++ )
	{
		int v = tmp[i];
		f[u] = max(f[u], tim[u] + f[v] + 1);
		tim[u] += tim[v] + 2; 	
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
	for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
	{
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v); add(v, u);
	}
	
	dfs(1, 0);
	
	printf("%lld\n", max(f[1], 1LL * tim[1] + w[1]));
	
	return 0;
}