【区间dp】 [HNOI2010]合唱队

本文解析了一种针对区间内最后人员进出路径的计数问题,通过定义f[l,r,0]和f[l,r,1]来表示从左或右进入区间的方案数,并利用动态规划进行转移计算。核心转移思想是根据序列中元素高度的比较。最终通过代码实现求解目标状态f[1,n,0]+f[1,n,1]。

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思路:
我们发现,对于目标序列的每一个区间 [ l , r ] [l, r] [l,r]而言,最后一个进来这个区间的人要么在 l l l要么在 r r r,那么我们可以定义 f [ l , r , 0 ] f[l,r, 0] f[l,r,0]表示最后一个人从左边进入目标序列的 [ l , r ] [l,r] [l,r]区间的所有方案数, f [ l , r , 1 ] f[l,r,1] f[l,r,1]表示最后一个人从右边进入目标序列的 [ l , r ] [l,r] [l,r]区间的所有方案数。我们考虑转移:
首先考虑 f [ l , r , 0 ] f[l,r,0] f[l,r,0],由于最后一个人从左边进入序列,那么他的位置为 l l l,那么倒数第二个人可能的位置为 l + 1 l + 1 l+1 r r r,如果 h [ l ] < h [ l + 1 ] h[l] < h[l + 1] h[l]<h[l+1]那么 f [ l , r , 0 ] f[l,r,0] f[l,r,0]可以从 f [ l + 1 , r , 0 ] f[l + 1,r,0] f[l+1,r,0]转移来;如果 h [ l ] < h [ r ] h[l] < h[r] h[l]<h[r],那么 f [ l , r , 0 ] f[l,r,0] f[l,r,0]可以从 f [ l + 1 , r , 1 ] f[l + 1,r,1] f[l+1,r,1]转移来。
同理,对于 f [ l , r , 1 ] f[l,r,1] f[l,r,1],如果 h [ r ] > h [ l ] h[r] > h[l] h[r]>h[l],那么 f [ l , r , 1 ] f[l,r,1] f[l,r,1]可以从 f [ l , r − 1 , 0 ] f[l,r - 1,0] f[l,r1,0]转移来; 如 果 h [ r ] > h [ r − 1 ] 如果h[r] > h[r - 1] h[r]>h[r1],那么 f [ l , r , 1 ] f[l,r,1] f[l,r,1]可以从 f [ l , r − 1 , 1 ] f[l,r-1,1] f[l,r1,1]转移来。
初始化所有 f [ i , i , 0 ] f[i,i,0] f[i,i,0] 1 1 1,其余为 0 0 0,就是默认只有一个人只能从左边进序列。
目标状态为 f [ 1 , n , 0 ] + f [ 1 , n , 1 ] f[1,n,0] + f[1,n,1] f[1,n,0]+f[1,n,1]

AC代码:

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1005, mod = 19650827;

int n;
int h[N];
int f[N][N][2];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> h[i];
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i][i][0] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int l = 1; l + i - 1 <= n; l ++ )
		{
			int r = l + i - 1;
			if (h[l] < h[l + 1]) f[l][r][0] += f[l + 1][r][0];
			if (h[l] < h[r]) f[l][r][0] += f[l + 1][r][1];
			if (h[r] > h[l]) f[l][r][1] += f[l][r - 1][0];
			if (h[r] > h[r - 1]) f[l][r][1] += f[l][r - 1][1];
			f[l][r][0] %= mod;
			f[l][r][1] %= mod;
		}	
	
	cout << (f[1][n][0] + f[1][n][1]) % mod << endl;
	return 0;
}
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