【区间dp】 [HNOI2010]合唱队

最新推荐文章于 2025-01-05 19:39:47 发布

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#动态规划

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本文解析了一种针对区间内最后人员进出路径的计数问题，通过定义f[l,r,0]和f[l,r,1]来表示从左或右进入区间的方案数，并利用动态规划进行转移计算。核心转移思想是根据序列中元素高度的比较。最终通过代码实现求解目标状态f[1,n,0]+f[1,n,1]。

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题目链接
思路：
我们发现，对于目标序列的每一个区间 $[l, r]$ 而言，最后一个进来这个区间的人要么在 $l$ 要么在 $r$ ，那么我们可以定义 $f [l, r, 0]$ 表示最后一个人从左边进入目标序列的 $[l, r]$ 区间的所有方案数， $f [l, r, 1]$ 表示最后一个人从右边进入目标序列的 $[l, r]$ 区间的所有方案数。我们考虑转移：
首先考虑 $f [l, r, 0]$ ，由于最后一个人从左边进入序列，那么他的位置为 $l$ ，那么倒数第二个人可能的位置为 $l + 1$ 和 $r$ ，如果 $h [l] < h [l + 1]$ 那么 $f [l, r, 0]$ 可以从 $f [l + 1, r, 0]$ 转移来；如果 $h [l] < h [r]$ ，那么 $f [l, r, 0]$ 可以从 $f [l + 1, r, 1]$ 转移来。
同理，对于 $f [l, r, 1]$ ，如果 $h [r] > h [l]$ ，那么 $f [l, r, 1]$ 可以从 $f [l, r - 1, 0]$ 转移来； $如果 h [r] > h [r - 1]$ ，那么 $f [l, r, 1]$ 可以从 $f [l, r - 1, 1]$ 转移来。
初始化所有 $f [i, i, 0]$ 为 $1$ ，其余为 $0$ ，就是默认只有一个人只能从左边进序列。
目标状态为 $f [1, n, 0] + f [1, n, 1]$

AC代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1005, mod = 19650827;

int n;
int h[N];
int f[N][N][2];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> h[i];
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i][i][0] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int l = 1; l + i - 1 <= n; l ++ )
		{
			int r = l + i - 1;
			if (h[l] < h[l + 1]) f[l][r][0] += f[l + 1][r][0];
			if (h[l] < h[r]) f[l][r][0] += f[l + 1][r][1];
			if (h[r] > h[l]) f[l][r][1] += f[l][r - 1][0];
			if (h[r] > h[r - 1]) f[l][r][1] += f[l][r - 1][1];
			f[l][r][0] %= mod;
			f[l][r][1] %= mod;
		}	
	
	cout << (f[1][n][0] + f[1][n][1]) % mod << endl;
	return 0;
}