P6625 [省选联考 2020 B 卷] 卡牌游戏

记录149

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long // 数据范围到10^5，累加后可能爆int，必须开long long
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); // 加速IO
    cin.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    ll sum=0,ans=0,a;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>a;
        sum+=a; // 实时计算前缀和
        // 只有前缀和大于0，且不是第一张牌（至少合并2张）时，才加入总分
        if (i!=1&&sum>0) ans+=sum;
    }
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P6625

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前言

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 核心解题思路

这道题是一道非常经典的贪心算法与前缀和结合的问题。

1. 问题转化（前缀和视角）：
   题目要求我们每次选取“最左边的连续若干张卡牌”进行合并。这意味着，无论我们怎么操作，本质上都是在不断地选取数组的前缀。
   假设我们第一次合并了前 i 张卡牌，那么这次操作对总分的贡献就是前 i 张卡牌的和（即前缀和 Si​ ）。合并后，这 i 张卡牌变成了一张分值为 Si​ 的新卡牌，位于最左端。
   如果我们接下来继续合并前 j 张卡牌（包含刚才合并出的那张新卡牌），这次操作对总分的贡献，本质上就是原数组前 j 张卡牌的和（即前缀和 Sj​ ）。
   因此，整个游戏过程的总分，实际上就是我们选取的若干个“前缀和”的累加。

2. 算法设计（贪心策略）：
   既然总分等于我们选出的前缀和之和，为了让总分最大，我们只需要遵循一个简单的贪心原则：只要当前的前缀和是正数，我们就把它合并进来！ 因为正数会让总分变大。如果当前的前缀和是负数或零，合并它只会让总分不变或减少，我们就应该立刻停止游戏。
   注意题目限制“至少合并2张卡牌”，所以我们从第2张卡牌开始判断前缀和是否为正。

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 代码分块详细解释

1. 头文件与变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long // 数据范围到10^5，累加后可能爆int，必须开long long
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); // 加速IO
    cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    ll sum = 0, ans = 0, a;

• 详细分析：卡牌的分值 aiai​ 绝对值最大可达 10^5，卡牌数量 nn 最大也是 10^5 。在极端情况下，前缀和的累加可能会达到 10^10 的级别，这远远超过了 int 类型的表示范围（约 2×10^9 ）。因此，代码中定义了 ll (long long) 来存储前缀和 sum 和最终答案 ans，这是防止数据溢出的关键。

2. 核心逻辑：线性扫描与贪心累加

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a;
        sum += a; // 实时计算前缀和
        
        // 只有前缀和大于0，且不是第一张牌（至少合并2张）时，才加入总分
        if (i != 1 && sum > 0) ans += sum;
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

• 详细分析：这是代码的灵魂所在，仅用一个循环就解决了问题。
  • 实时前缀和：在读取每一个卡牌分值 a 的同时，立刻将其累加到 sum 中。此时的 sum 就代表了原数组从第 1 张到第 i 张卡牌的总和。
  • 贪心判定：if (i != 1 && sum > 0) 包含两个核心条件。i != 1 满足了题目“至少选取2张卡牌”的硬性约束；sum > 0 则是贪心策略的体现。只要当前累积的前缀和是正收益，我们就执行这次合并操作，将 sum 加到总分 ans 中。
  • 为什么不需要复杂的模拟？ 因为无论中间合并了多少次，下一次合并最左侧卡牌时，其分值总和永远等于当前遍历到的位置的前缀和。我们只需要一路向右扫描，遇到正的前缀和就“吃掉”，遇到负的前缀和就“停手”（后续的负前缀和不会再被加入 ans），这样就能保证得到的 ans 是全局最大值。

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核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
数据类型	#define ll long long	使用 64 位整数存储累加和	防止在卡牌数量与分值均达到 105105 时，总分计算发生整型溢出
前缀和计算	sum += a	在读取数据的同时计算前缀和	将复杂的“卡牌合并与替换”过程，转化为直观的数学前缀和累加
规则约束	i != 1	限制从第2张卡牌开始判断	严格遵守了题目中“每次至少选取2张卡牌”的操作限制
贪心策略	sum > 0	仅当当前前缀和为正时才累加	保证了每一步操作都能使总分增加，从而获得全局最优解
答案累加	ans += sum	将正收益的前缀和计入总分	完美模拟了多次合并操作对总分的贡献，无需真正修改卡牌序列