P1087 [NOIP 2004 普及组] FBI 树

记录143

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; // 使用标准命名空间std

string s; // 存储01字符串

// 递归函数：处理字符串区间 [l, r]
void dfs(int l,int r) {
    // 1. 判断当前区间的类型
    bool has0=false,has1=false;
    for(int i=l;i<=r;i++) {
        if(s[i]=='0') has0=true;
        else has1=true;
    }
    
    char type; // 当前节点的类型
    if(has0&&has1) type='F'; // 既有0又有1
    else if(has0) type='B';    // 只有0
    else type='I';             // 只有1

    // 2. 如果区间长度大于1，继续递归切分左右子树
    if(l<r) {
        int mid=(l+r)/2;
        dfs(l,mid);       // 递归左子树
        dfs(mid+1,r);   // 递归右子树
    }

    // 3. 后序遍历：最后输出当前节点的类型
    cout<<type;
}

int main() { // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步，加速IO
    cin.tie(0);
    
    int n;
    cin>>n>>s; // 读入N和01串
    
    // 启动递归，初始区间是整个字符串 [0, s.size()-1]
    dfs(0,s.size()-1);
    
    cout<<"\n"; // 输出换行
    return 0;
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1087

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前言

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核心解题思路

这道题是一道非常经典的递归分治与二叉树遍历问题。

1. 核心原理：
   题目给出了 FBI 树的递归构造方法：根节点的类型由当前字符串决定，如果字符串长度大于 1，则从中间一分为二，分别构造左子树和右子树。这天然契合二叉树的结构。题目要求输出后序遍历序列，即“左子树 -> 右子树 -> 根节点”的顺序。

2. 算法设计（分治递归）：
   我们不需要真正地在内存中构建出树的结构（即不需要定义节点类或结构体）。只需要写一个递归函数，传入当前处理的字符串区间 [l, r]。在函数内部，先判断当前区间对应的节点类型，然后如果区间长度大于 1，就递归处理左半区间和右半区间，最后输出当前节点的类型。这种“先递归左右，再输出自身”的操作，恰好就是后序遍历。

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 代码分块详细解释

1. 头文件与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; // 使用标准命名空间std
string s; // 存储01字符串

• 详细分析：题目中字符串的长度为 2N2N ，当 N=10N=10 时，字符串长度最多为 210=1024210=1024 。使用 string 类型存储非常方便，且可以像数组一样通过下标访问。将字符串定义为全局变量，可以避免在递归函数中反复传递字符串，提高运行效率。

2. 核心逻辑：分治递归函数（dfs）

// 递归函数：处理字符串区间 [l, r]
void dfs(int l, int r) {
    // 1. 判断当前区间的类型
    bool has0=false, has1=false;
    for(int i=l; i<=r; i++) {
        if(s[i]=='0') has0=true;
        else has1=true;
    }
    
    char type; // 当前节点的类型
    if(has0 && has1) type='F'; // 既有0又有1
    else if(has0) type='B';    // 只有0
    else type='I';             // 只有1

    // 2. 如果区间长度大于1，继续递归切分左右子树
    if(l < r) {
        int mid = (l+r)/2;
        dfs(l, mid);       // 递归左子树
        dfs(mid+1, r);     // 递归右子树
    }

    // 3. 后序遍历：最后输出当前节点的类型
    cout << type;
}

• 详细分析：这是本题的灵魂所在，完美体现了“分治”与“后序遍历”的结合。
  • 节点类型判定：通过一个 for 循环遍历当前区间 [l, r] 内的所有字符，用两个布尔变量 has0 和 has1 记录是否出现过 0 和 1。根据两者的组合情况，确定当前节点是 'F'、'B' 还是 'I'。
  • 递归切分：如果 l < r，说明当前区间长度大于 1，需要继续向下构造子树。计算中间位置 mid = (l+r)/2，然后分别对左半区间 [l, mid] 和右半区间 [mid+1, r] 发起递归调用。
  • 后序输出：注意代码的执行顺序是先调用 dfs(l, mid)（处理左子树），再调用 dfs(mid+1, r)（处理右子树），最后才执行 cout << type（输出根节点）。这严格遵循了后序遍历“左右根”的规则，保证了最终拼接出的字符串就是正确的后序遍历序列。

3. 主函数：输入处理与启动递归

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步，加速IO
    cin.tie(0);
    
    int n;
    cin >> n >> s; // 读入N和01串
    
    // 启动递归，初始区间是整个字符串 [0, s.size()-1]
    dfs(0, s.size()-1);
    
    cout << "\n"; // 输出换行
    return 0;
}

• 详细分析：主函数负责读取输入的 NN 和 01 串，并启动递归。dfs(0, s.size()-1) 表示最初我们要处理的是整个字符串，左右边界分别是 0 和 字符串长度-1。

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核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
节点类型判定	has0 与 has1 布尔标记	遍历当前区间，判断包含的字符种类	准确确定当前递归层对应的节点是 F、B 还是 I
递归切分	int mid = (l+r)/2	将当前区间从正中间一分为二	完美契合 FBI 树“等长左右子串”的构造规则
递归左子树	dfs(l, mid)	递归处理左半部分区间	深入树的左侧分支，遵循后序遍历“先左”的规则
递归右子树	dfs(mid+1, r)	递归处理右半部分区间	深入树的右侧分支，遵循后序遍历“后右”的规则
根节点输出	cout << type	在左右子树递归结束后输出当前类型	遵循后序遍历“最后根”的规则，直接拼接出最终答案
递归终止	if(l < r)	当区间长度为1时不再向下递归	保证了递归在叶子节点处正确停止，防止死循环