P14076 [GESP202509 六级] 货物运输

记录131

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long//定义长整型别名ll，因为边权和最大可达1e14，必须用long long
const int N=1e5+10;//定义常量N，表示城市数量的最大范围
vector<pair<int,ll>>g[N];//定义邻接表g，g[u]存储与城市u相连的{相邻城市, 道路长度}
ll max_dist=0;//定义变量max_dist，用来记录首都到最远城市的距离
//定义深度优先搜索函数，u是当前城市，fa是父节点（防止走回头路），d是当前走过的距离
void dfs(int u,int fa,ll d){
	max_dist=max(max_dist,d);//每次到达一个节点，都尝试更新最远距离
	for(auto edge:g[u]){//遍历当前城市u的所有相邻道路
		int v=edge.first;//相邻的城市编号
		ll w=edge.second;//这条道路的长度
		if(v!=fa){//如果相邻城市不是父节点（即不是回头路）
			dfs(v,u,d+w);//继续向下深搜，距离累加当前道路长度
		}
	}
}
int main(){//主函数入口
	ios::sync_with_stdio(false);//关闭标准流同步，提升输入输出效率
	cin.tie(0);//解除cin与cout的绑定，进一步加快读取速度
	int n;//变量n，表示城市的总数
	ll sum=0;//定义变量sum，用来累加所有道路的长度总和
	cin>>n;//读入城市的数量n
	for(int i=1;i<n;i++){//循环读入n-1条道路的信息
		int u,v;//定义临时变量u和v，代表一条道路连接的两个城市
		ll len;//定义临时变量len，代表这条道路的长度
		cin>>u>>v>>len;//读入这条道路连接的两个城市编号以及长度
		g[u].push_back({v,len});//在邻接表中添加u到v的连接
		g[v].push_back({u,len});//在邻接表中添加v到u的连接（因为是无向图）
		sum+=len;//累加所有道路的长度
	}
	dfs(1,0,0);//从首都（1号城市）开始进行DFS，父节点设为0，初始距离为0
	cout<<2*sum-max_dist;//输出最短总路程：所有边走两倍的代价减去最远的一条回程
	return 0;//程序结束
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P14076

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前言

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核心解题思路

这道题是一道经典的树上路径贪心问题。我们需要从首都出发，遍历所有节点，并且要求总路径最短。

1. 模型转化：
   题目中的 n 座城市和 n-1 条双向道路，且任意两座城市均可到达，这在图论中被称为树（Tree）。首都 1 号节点就是这棵树的根节点。

2. 核心贪心策略：
   在树上遍历所有节点，最朴素的做法是“深度优先搜索（DFS）”：从根节点出发，走到每一个叶子节点，然后原路返回。在这个过程中，每一条边都会被经过两次（去一次，回一次）。因此，所有边的长度总和乘以 2，就是遍历所有节点并回到起点的总代价。
   但是，题目有一个关键条件：“车队最后可以不返回首都”。这意味着，我们可以省去从“最远的那个城市”返回首都的那段路程。为了让总路程最小，我们省去的这段路程必须尽可能长。

3. 数学公式：
   最终的答案 = 所有边的长度总和 × 2 - 从首都出发能到达的最远距离。

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代码分块详细解释

1. 头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long // 定义长整型别名 ll，因为边权和最大可达 1e14，必须用 long long
const int N=1e5+10; // 定义常量 N，表示城市数量的最大范围
vector<pair<int,ll>> g[N]; // 定义邻接表 g，g[u] 存储与城市 u 相连的 {相邻城市, 道路长度}
ll max_dist=0; // 定义变量 max_dist，用来记录首都到最远城市的距离

• 详细分析：这部分搭建了图论问题的基础数据结构。由于题目中边的长度 l_i 最大可达 109，且最多有 10^5 条边，总路程可能达到 10^14 级别，远远超出 int 的范围，因此必须使用 long long。vector<pair<int,ll>> g[N] 是存储无向图（树）的标准邻接表写法，pair 的第一个元素存相邻节点，第二个元素存边权。

2. 深度优先搜索（DFS）求最远距离

// 定义深度优先搜索函数，u 是当前城市，fa 是父节点（防止走回头路），d 是当前走过的距离
void dfs(int u, int fa, ll d){
    max_dist = max(max_dist, d); // 每次到达一个节点，都尝试更新最远距离
    for(auto edge : g[u]){ // 遍历当前城市 u 的所有相邻道路
        int v = edge.first; // 相邻的城市编号
        ll w = edge.second; // 这条道路的长度
        if(v != fa){ // 如果相邻城市不是父节点（即不是回头路）
            dfs(v, u, d + w); // 继续向下深搜，距离累加当前道路长度
        }
    }
}

• 详细分析：这个 DFS 函数的作用是求树的“加权直径”（从根节点出发的最长路径）。
  • 防止死循环：在树中遍历必须传递父节点 fa，通过 if(v != fa) 确保搜索只向子节点延伸，不会在两个节点之间来回横跳。
  • 距离累加：d + w 实时维护从首都（根节点）到当前节点 v 的总路径长度。
  • 全局更新：每当 DFS 走到一个节点，就将其距离与全局变量 max_dist 进行比较，最终 max_dist 就会保存从首都出发能到达的最远城市的距离。

3. 主函数：建图与边权累加

int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除 cin 与 cout 的绑定，进一步加快读取速度
    int n; // 变量 n，表示城市的总数
    ll sum = 0; // 定义变量 sum，用来累加所有道路的长度总和
    cin >> n; // 读入城市的数量 n
    for(int i = 1; i < n; i++){ // 循环读入 n-1 条道路的信息
        int u, v; // 定义临时变量 u 和 v，代表一条道路连接的两个城市
        ll len; // 定义临时变量 len，代表这条道路的长度
        cin >> u >> v >> len; // 读入这条道路连接的两个城市编号以及长度
        g[u].push_back({v, len}); // 在邻接表中添加 u 到 v 的连接
        g[v].push_back({u, len}); // 在邻接表中添加 v 到 u 的连接（因为是无向图）
        sum += len; // 累加所有道路的长度
    }

• 详细分析：主函数的前半部分负责数据的读取和图的构建。sum += len 这一步非常关键，它直接计算出了整棵树所有边的权值之和。由于是无向图，添加边时需要双向添加（u->v 和 v->u 都要加），保证 DFS 时能正确遍历到所有相邻节点。

4. 核心计算与输出

    dfs(1, 0, 0); // 从首都（1号城市）开始进行 DFS，父节点设为 0，初始距离为 0
    cout << 2 * sum - max_dist; // 输出最短总路程：所有边走两倍的代价减去最远的一条回程
    return 0; // 程序结束
}

• 详细分析：这是整个算法的收尾。调用 dfs(1, 0, 0) 从根节点开始遍历，求出最远回程距离 max_dist。最后，利用贪心公式 2 * sum - max_dist 直接得出答案。例如在样例 1 中，总边权和为 6+1+5=12，两倍是 24；从首都 1 出发最远能走到 4 号城市（距离为 1+5=6），所以最终答案是 24 - 6 = 18。

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 核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
数据类型	#define ll long long	使用 64 位长整型	防止 105 条边、每条边 109 权值累加时发生数据溢出
图存储	vector<pair<int,ll>> g[N]	邻接表存无向图	完美适配 n ≤ 105 的稀疏图，比邻接矩阵更节省空间
DFS 防回头	if(v != fa)	记录父节点并剪枝	避免在树的双向边中陷入无限递归死循环
贪心公式	2 * sum - max_dist	核心数学推导	将复杂的“遍历所有节点的最短路径”问题，转化为简单的“总边权*2 - 最长单程”
IO 优化	ios::sync_with_stdio(false)	提升输入输出效率	解决 105 级别数据量下 cin/cout 可能导致的超时问题