位运算实现加法

先用1位数的加法来进行，在不考虑进位的基础上，如下

1. 1 + 1 = 0
2. 1 + 0 = 1
3. 0 + 1 = 1
4. 0 + 0 = 0

很明显这几个表达式可以用位运算的“^”来代替（异或：相同为0不同为1），如下

1. 1 ^ 1 = 0
2. 1 ^ 0 = 1
3. 0 ^ 1 = 1
4. 0 ^ 0 = 0

这样我们就完成了简单的一位数加法，那么要进行二位的加法，这个方法可行不可行呢？肯定是不行的，矛盾就在于，如何去
获取进位？要获取进位我们可以如下思考：

1. 0 + 0 = 0
2. 1 + 0 = 0
3. 0 + 1 = 0
4. 1 + 1 = 1
5. //换个角度看就是这样
6. 0 & 0 = 不进位
7. 1 & 0 = 不进位
8. 0 & 1 = 不进位
9. 1 & 1 = 进位

正好，在位运算中，我们用“<<”表示向左移动一位，也就是“进位”。那么我们就可以得到如下的表达式

1. //进位可以用如下表示：
2. (x&y)<<1

到这里，我们基本上拥有了这样两个表达式

1. x^y //执行加法
2. (x&y)<<1 //进位操作

我们来做个2位数的加法，在不考虑进位的情况下

1. 11+01 = 100  // 本来的算法
2.  
3. // 用推算的表达式计算
4. 11 ^ 01 = 10
5.  
6. (11 & 01) << 1 = 10
7.  
8. //到这里 我们用普通的加法去运算这两个数的时候就可以得到 10 + 10 = 100
9. //但是我们不需要加法，所以要想别的方法，如果让两个数再按刚才的算法计算一次呢
10.  
11. 10 ^ 10 = 00
12.  
13. (10 & 10) << 1 = 100

现在使用程序实现

	private int add(int a, int b) 
	{
		int result = a^b;
		int jw = (a&b)<<1;
		
		while(jw != 0)    //不需要进位，则说明result里存的已经是正确结果了
		{
			int tempA = result;
			int tempB = jw;
			
			result = tempA^tempB;
			jw = (tempA&tempB)<<1;
		}
		
		return result;
	}

测试：

	@Test
	public void addTest()
	{
		int a = 5;
		int b = 2;
		
		int ans = add(a,b);
		System.out.println(ans);
	}

结果为：

7

定理：设a，b为两个二进制数，则a+b = a^b + (a&b)<<1。
证明：a^b是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为1时，才有进位，因此 (a&b)<<1是进位产生的值，称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。