原码反码补码加减运算

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处理器对两个操作数进行运算时，按照无符号数求得结果，并相应设置进位标志C；同时，根据是否超出有符号数的范围设置溢出标志V。应该利用哪个标志，则由程序员来决定。也就是说，如果将参加运算的操作数认为是无符号数，就应该关心进位；认为是有符号数，则要注意是否溢出。

所有的负数的反码等于原码各位取反；补码等于反码加一. 十六进制也是先化成2进制的在化补码。补码的用途是让机器学会减法运算的。应为所有的处理器是电路做的，电路其实只是加法器，只能做加法。如何能让电脑做减法呢，就用补码啊。减去一个数就等于加上她的补码。

原码加减法比较复杂，需要事先判断数的符号，然后决定做加法还是做减法运算。

补码的加减法运算比较简单，采用补码加减法运算，可将“正数加负数”的操作，转化为“正数加正数”的操作。一般计算机采取补码进行加减法运算。因减法运算可看作被减数加上一个减数的负值，即A-B=A+(-B)，故在此将机器中的减法运算和加法运算合在一起讨论。

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1. 补码加减的基本公式

.补码加法的基本公式为：

整数 [A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2n+1)

小数 [A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2)

.对于减法

因A-B=A+(-B)，则[A-B]补=[A+(-B)]补，由补码加法基本公式可得：

整数 [A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2n+1)

小数 [A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2)

[X+Y]补= [X]补+[Y]补 [X-Y]补= [X]补+[-Y]补

运算过程举例（假设机器字长4位，其中1位表示符号位）：

补码的加、减法的例子

（a）（-7）+（+5）（b）（-4）+（+4）

1,001 1,100

0,101 0,100

1,110 =-2 0,000 =0

（c）（+5）+（+4）（d）（-7）+（-6）

0,101 1,001

0,100 1,010

1,001 =溢出 0,011 =溢出

计算机中这种超出机器字长的现象，称为溢出。1 丢掉

在补码定点运算中，必须对结果是否溢出进行判断。

12.溢出判断

.如果运算的结果，超出了计算机能表示的数的范围，会得出错误的结果，这种情况称为溢出。

–对于字长为n的计算机，那么它能表示的定点补码范围为－２ⁿ^－１≤Ｘ≤２ⁿ^－１-１

–若运算结果小于－２ⁿ^－１或大于２ⁿ^－１-１，则发生溢出

–发生溢出时数值的有效位占据了符号位。

.两种方法

①用一位符号位判断溢出

②用两位符号位判断溢出

用一位符号位判断溢出

.两个相同符号数相加，其运算结果符号应与被加数相同，否则产生溢出；

.相异符号数相加，相同符号数相减，不会产生溢出。

.两个相异符号数相减，其运算结果符号应与被减数相同，否则产生溢出。

.由于减法运算在机器中是用加法器实现的，如此有如下结论：

–无论是加法还是减法，只要实际参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”以后的减数）符号相同，结果又与原操作数的符号不同，即为溢出。

用一位符号位判断溢出

.准则：“两个相同符号数相加，其运算结果符号应与被加数相同，否则产生溢出”

–这种判断方法不容易由硬件来实现。

.先判断操作数的符号是否相同，再判断结果的符号与原操作数的符号是否相同

.通常用符号位产生的进位和最高有效位向符号位产生的进位进行异或操作后，按其结果进行判断。

–若异或结果为1（即不同），则溢出；

–若异或结果为0（即相同），则没有溢出。

补码的加、减法的溢出判断

运算过程举例（假设机器字长4位，其中1位表示符号位）：

[X+Y]补= [X]补+[Y]补 [X-Y]补= [X]补+[-Y]补

（a）（-7）+（+5）（b）（-4）+（+4）

1,001 1,100

0,101 0,100

1,110 =-2 10,000 =0

（c）（+5）+（+4）（d）（-7）+（-6）

0,101 1,001

0,100 1,010

1,001 =溢出 1 0,011 =溢出

1 丢掉

用两位符号位判断溢出

.变形补码

.用变形补码做加法操作时，两位符号位连同数值部分一起参加运算。

.运算结果溢出判断规则：

–正常时两个符号位的值相同

–两个符号位不同，则表明发生了溢出。

双符号位溢出判断法

双符号含义： 00表示运算结果为正数；

01表示运算结果正溢出；

10表示运算结果负溢出；

11表示运算结果为负数。

第一位符号位为运算结果的真正符号位。

例1设有效数值位为4，X= -0.1001，Y= - 0.0101，求 [X+Y]=？

解: [X]补= 11.0110+1 = 1 1. 0 1 1 1

+ [Y]补= 11.1010+1 = 1 1. 1 0 1 1

[X+Y]补 = 1 1 1. 00 1 0

最高位1丢掉两个符号位相同，运算结果无溢出

最终结果为：X+Y= - 0.1110

例4设有效数值位为4， X= -0.1011，Y= 0.0111，求 [X-Y]=？

解: [X]补= 11.0100+1=11.0101

[Y]补= 00.0111 [-Y]补=11.1001

[X]补 = 1 1. 0 1 0 1

+ [-Y]补 = 1 1. 1 0 0 1

[X+Y]补 = 11 0. 1 1 1 0

两个符号位10不同,运算结果负溢出。