最小环算法

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#算法 #图论 #c++

于 2021-11-29 21:11:24 首次发布

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本文介绍了两种求解无向图最小环的算法：Floyd算法和删边法，并提供了详细的C++代码实现。Floyd算法通过三层循环找出最短路径组合形成最小环，而删边法通过删除边并计算以特定顶点为起点的最短路来找到最小环。两种方法在处理无向图的最小环问题时各有特点，适合不同的场景。

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最小环概念：
在无向图中，最小环至少应当包含 $3$ 个顶点。也就是说，将无向边拆分为两条有向边，以此形成的 $2$ 顶点环，不能视作最小环，有向图则无顶点数的限制。
在图论中，一张图的最小环长度也被称为它的围长（girth）。

一、Floyd求无向图最小环

该算法最常使用，足以解决绝大多数无向图最小环问题。
当最外层恰好循环到 $k$ 时，代表着目前所求出的最短路所含的点集为 $[1, k)$ 。
这时的中转点 $k$ 一定不存在于 $i$ —> $j$ 的最短路中，然后再枚举不重合的 $i, j$ 点集，即可得到最小环
$d i s [i] [j] + e [j] [k] + e [k] [i]$

P6175 无向图的最小环问题
思路：
板子题

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x))
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 1e2 + 9;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;
int dis[maxn][maxn], e[maxn][maxn];

void work()
{
	cin >> n >> m;
	mem(dis, 0x3f);mem(e, 0x3f);
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		int x, y, z;cin >> x >> y >> z;
		e[x][y] = e[y][x] = min(e[x][y], z);
		dis[x][y] = dis[y][x] = e[x][y];
	}
	ll ans = inf;
	for(int k = 1; k <= n; ++k)
	{
		for(int i = 1; i < k; ++i)
			for(int j = i + 1; j < k; ++j)
				ans = min(ans, 1ll * dis[i][j] + e[j][k] + e[k][i]);
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			for(int j = 1; j <= n; ++j)
				dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
	}
	if(ans == inf) cout << "No solution.";
	else cout << ans;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
//	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}

hdu–1599–find the mincost route
思路：
最小环模板题
这个题如果用 $m e m s e t$ 赋值会有一个 $w a$ 点，首先无论是开 $i n t$ 还是 $l l$ ，用 $0 x 3 f$ 赋值得到的都是接近 $i n t$ 最大值的一半，而执行这句话时 $d i s [i] [j] + e [j] [k] + e [k] [i]$ ，非常容易发生溢出导致 $w a$ ，因此最好开 $i n t$ 类型，然后给这句话乘个 $1 l l$ ，这样就不会溢出了。
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 9;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;
int dis[maxn][maxn], e[maxn][maxn];

void work()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(e, 0x3f, sizeof(e));
//    for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[i][i] = 0, e[i][i] = 0;
    
    for(int i = 1, x, y, z; i <= m; ++i)
    {
        cin >> x >> y >> z;
        e[x][y] = e[y][x] = min(e[x][y], z);// 可能有重边，取最小
        dis[x][y] = dis[y][x] = e[x][y];
    }
    ll ans = inf;
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
    {
        for(int i = 1; i < k; ++i)
            for(int j = i + 1; j < k; ++j)
                ans = min(ans, 1ll * dis[i][j] + e[j][k] + e[k][i]); 
                
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
    }
    if(ans == inf) cout << "It's impossible.\n";
    else cout << ans << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    while(cin >> n >> m)
    work();
    return 0;
}