#725 (Div. 3) D（线性筛+思维 F 思维 G （思维+二分

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这篇博客探讨了线性筛法在解决数论问题中的应用，如找到两个数通过质因子分解达到相等所需的最少操作次数。同时，还介绍了如何计算数字变化的次数，以及在给定限制下最大化糖果打包的方法。这些问题涉及数学思维和组合优化策略。

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D. Another Problem About Dividing Numbers
线性筛+思维
他让我们恰好通过 k 次操作来让两个数相等，我们可以取极限次数，就是除一遍这个数所有的质因子，直至为1。也就是统计两个数，所有质因子的个数的加和，这是我们能操作的最多次数。如果 k 超过这个数目，那么一定不行，否则我们可以通过组合质因子，来构造出恰好 k 次操作来让两个数相等

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e5 + 9;
ll t = 1, n, m, k, l, r;
ll p[N], cnt,v[N];
void xxs()
{
	for(ll i = 2; i <= N - 9; ++i)
	{
		if(!v[i]) p[cnt++] = i;
		for(int j = 0; j < cnt && p[j]*i < N - 9; ++j)
		{
			v[p[j]*i] = 1;
			if(i % p[j] == 0) break;
		}
	}
}
void solve()
{
	cin >> l >> r >> k;
	if(k == 1)
	{
		if(l != r && (l % r == 0 || r % l == 0)) cout << "YES\n";
		else cout << "NO\n";
	}
	else 
	{
		int ans = 0;
		for(int i = 0; i < cnt; ++i)
		{
			while(l % p[i] == 0) l/= p[i], ++ans;
			while(r % p[i] == 0) r/= p[i], ++ans;
		}
		if(l > 1) ++ans; if(r > 1) ++ans;
// 统计两个数的质因子的个数
//只要总数大于等于 k，都可以进行某种组合满足恰好 k 次操作 
		if(k > ans) cout << "NO\n";
		else cout << "YES\n";
	}
}
int main()
{
	xxs();
	cin >> t;
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}

F. Interesting Function
假设 l =10, r = 200
首先明确个位数变了多少次，仔细想想其实就是 200-10次 200-10=190
然后是十位变了多少次，那不就转化成 1 - 20 变化了多少次吗，20-1=19
然后就结束了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2e5 + 9;
ll t = 1, n, m, k, l, r;
void solve()
{
	cin >> l >> r;
	int ans = 0, base = 1;
	for(int i = 0; i <= 9; ++i)
	{
		ans += r / base - l / base;
		base *= 10;
	}
	cout << ans << endl;
}
int main()
{
	cin >> t;
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}

G. Gift Set
大佬题解
题意：
给定 $x, y, a, b$ 四个整数，表示有 $x$ 个红色糖果和 $y$ 个蓝色糖果。现在有两种打包方式：

$a$ 个红色糖果和 $b$ 个蓝色糖果
$b$ 个红色糖果和 $a$ 个蓝色糖果

求最多打包个数
思路：
设 $t_1$ 个第一种打包方式， $t_2$ 个第二种打包方式，在满足下列不等式的情况下，使得 $t_1+t_2$ 最大

$t_1*a+t_2*b <= x$
$t_1*b+t_2*a<=y$

最大化 $t_1+t_2$ ，显然我们去二分，设 $k$ 种方式一
那么不等式变成了

$k * a + (m i d - k) * b < = x$
$k * b + (m i d - k) * a < = y$

显然交换 $x, y$ 和 $a, b$ 不会影响答案，不妨设 $x < = y, a < = b$ 化简一下可以得到
$0<=\frac{x-b*mid}{a-b}<=k<= \frac{y-a*mid}{b-a} <= mid$
然后 $c h e c k$ 不等式是否成立就好了，注意 $k$ 的代表的是方式一的数量，范围应该是 $[0, m i d]$ ，注意特判 $a = b$
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e3 + 9;
ll l, r, n, m, x, y, t;
ll a, b;
bool check(int mid)
{
	int x1 = ceil(1.0 * (x - b * mid) / (a - b));
	int x2 = floor(1.0 * (y - a * mid) / (b - a));
	x1 = max(x1, 0); x2 = min(x2, mid);
	return x1 <= x2;
}
int main()
{
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &a, &b);
		if(a == b) cout << min(x, y)/a << endl;
		else
		{
			if(a > b) swap(a, b);
			l = 0, r = inf;
			while(l < r)
			{
				int mid = (l + r) >> 1;
				if(check(mid)) l = mid + 1;
				else r = mid;
			}
			cout << r << endl;
		}
	}
	return 0;
}