51nod-阶乘分数-阶乘数质因数分解/组合计数

最新推荐文章于 2018-10-09 08:50:00 发布

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本文介绍了一个算法问题“1189阶乘分数”，任务是找到所有整数解的数量，使得1/N!等于两个分数之和，并且输出结果对10^9+7取模。文章提供了完整的C++代码实现，采用素数筛法和质因数分解的方法进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1189 阶乘分数

题目来源： Spoj

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

关注

1/N! = 1/X + 1/Y，给出N，求满足条件的整数解的数量。例如：N = 2，1/2 = 1/3 + 1/6，1/2 = 1/4 + 1/4。由于数量可能很大，输出Mod 10^9 + 7。

Input

输入一个数N（1 <= N <= 1000000)。

Output

输出解的数量Mod 10^9 + 7。

Input示例

Output示例

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

#define ll long long
#define rep(x, y, z) for(int x=y;x<z;x++)
#define lson rt<<1, L, m
#define rson rt<<1|1, m, R
typedef pair<int, int> P;
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e6 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
ll ans;

ll qmod(ll a, ll b){
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int pr[maxn], vis[maxn], cnt;
//素数筛法
void ini(){ 
	rep(i, 2, maxn){
		if(vis[i]) continue;
		pr[cnt++] = i;
		for(int j = i + i; j < maxn; j += i) vis[j] = 1;
	}
}
//阶乘数质因数分解
ll cal(int n, int p){
	return n < p ? 0 : cal(n / p, p) + n / p;
}
//计数部分：可以先不考虑重复，则方案数为每个质因数的个数+1的乘积。易想到这样通过除以2来去重，但是由于公式转化后为平方，所有质因数均为偶数，会有一组情况没有被算两次，因此要先讲答案+1再除以2。例如n = 3，有2, 2, 3, 3的质因数，对于2，有3种选法，不选，2，22，对于3有3种选法，不选，3，33，应用乘法原理即可，可以注意到23，23这种情况只被计算了一次，因此要+1。
void divide(int n){
	ans = 1;
	for(int i = 0; i < cnt && pr[i] <= n; i++){
		ll t = (cal(n, pr[i]) * 2 + 1) % mod; 
		ans = ans * t % mod;
	}
}

int main(){
#ifdef ac
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	//freopen("out.txt","w",stdout);
    cin>>n;
	ini();
	ll m = qmod(2, mod - 2);
	divide(n);
	ans++;
	ans = ans * m % mod;
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}