LeetCode解题报告 343. Integer Break [medium]

最新推荐文章于 2023-07-28 11:05:19 发布

原创最新推荐文章于 2023-07-28 11:05:19 发布 · 344 阅读

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本文介绍了一道关于整数分解的问题，旨在通过将一个正整数分解为至少两个正整数之和，使这些整数的乘积最大化。文章提供了解题思路及算法实现，并证明了为何分解中含有尽可能多的3能获得最大乘积。

题目描述

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).

Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

Hint:

There is a simple O(n) solution to this problem.
You may check the breaking results of n ranging from 7 to 10 to discover the regularities.

解题思路

题目要求得出乘积最大的一个数的和分解。
提示中说明可以从7-10找规律。

可以看到，分解出的数字均为2或3或4，且尽量包含更多的3，不包含1.

算法很容易实现，将一个数n再减去2的值除以3的值k就是分解出来的所有的3的个数（因为1不能做因子，也就是余数不能为1，如果是n除以3或者n-1除以3，余数都有可能是1），再对余数进行分类讨论，余数为0，k个3相乘为结果；余数为2，k个3相乘再乘2；余数为3，k+1个3相乘；余数为4，k个3相乘再乘4。

这里引用http://blog.youkuaiyun.com/liyuanbhu/article/details/51198124这篇博客的证明，来解释为什么拆出足够多的 3 就能使得乘积最大。

首先证明拆出的因子大于 4 是不行的。设 x 是一个因子，x>4，那么可以将这个因子再拆成两个因子 x−2 和 2，易证 (x−2)×2>x。所以不能有大于 4 的因子。4 这个因子也是可有可无的，4=2+2，4=2×2。因此 4 这个因子可以用两个 2 代替。
除非没有别的因子可用，1 也不能选作因子。一个数 x 当它大于 3 时，有 (x−2)×2>(x−1)×1。这样呢，就只剩下 2 和 3 这两个因子可以选了。下面再证明 3 比 2 好。

时间复杂度分析

O(1)的时间复杂度，无循环。

代码如下：

注意n为2或者3时，返回1／2.

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n==2) {
            return 1;
        }
        if (n==3) {
            return 2;
        }
        else{
            int count=(n-2)/3;
            int yushu=n-count*3;
            int result=0;
            if (yushu==0) {
                result = pow(3, count);
            }
            if (yushu==4) {
                result = pow(3, count)*4;
            }
            if (yushu==3) {
                result = pow(3, count)*3;
            }
            if (yushu==2) {
                result = pow(3, count)*2;
            }
            return result;
        }
    }