关押罪犯（二分图+二分 or 扩展域并查集）

原创已于 2022-04-06 08:30:45 修改 · 765 阅读

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#c++ #染色法 #二分图 #二分查找 #并查集

于 2022-04-05 17:31:19 首次发布

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本文介绍了如何运用二分图和二分查找算法解决NOIP2010提高组的关押罪犯问题。通过对罪犯之间的仇恨值进行分析，确定能形成二分图的最大仇恨值，从而达到将罪犯分配到两个房间以使内部最大仇恨值最小化的目标。文章提供了两种解法，分别是C++实现的二分图染色法和并查集方法，并给出了详细的代码实现和思路解析。

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题目描述

NOIP2010提高组关押罪犯（二分图+二分）
简言之，就是一个监狱里有若干罪犯，他们两两之间存在的一个仇恨值。监狱里有两个房间，需要把这么一些罪犯分到两边，来使房间内两两之间最大的仇恨值最小。

首先为什么想到二分图？因为目标是要找到一个最小的仇恨值，那么大于这个仇恨值关系的罪犯，一定可以被分到两边，即他们之间的关系是组与组之间的关系，可以形成一个二分图。一旦小于这个仇恨值，就会有组内之间的边出现，无法构成二分图。

经过上面的描述，我们很容易分析出，仇恨值存在二段性，大于最小仇恨值可以形成二分图，小于等于则无法形成二分图。因此想到用二分

解法一：C++（二分图+二分）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20010, M = 2e5 + 10;

int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b, int c) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// ---------------染色法判断二分图-----------------
bool dfs(int u, int c, int mid) {
	color[u] = c;
	
	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
		if (w[i] <= mid) continue;
		int j = e[i];
		if (!color[j]) {
			if (!dfs(j, 3-c, mid)) return false;
		} else if (color[j] == c) return false;
	}
	return true;
}

bool check(int mid) {
	memset(color, 0, sizeof color);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		if (!color[i]) 
			if (!dfs(i, 1, mid)) 
			    return false;

	return true;
}
// ----------------------------------------------
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(h, -1, sizeof h);
	while (m--) {
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c), add(b, a, c); // 双向边
	}
	
	// 二分
	int l = 0, r = 1e9;
	while (l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	
	cout << r << endl;
	
	return 0;
}

解法二：种类并查集

a+n代表a的虚点。当a与b是敌对关系时，就把a与b+n，a+n与b并在一起

往后判断是否连在了同一个虚点上即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 2e4 + 10, M = 1e5 + 10;
int p[N * 2];

struct Node {
    int a, b, c;
    bool operator<(const Node& w) const {
        return c > w.c;
    }
}node[M];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        node[i] = {a, b, c};
    }
    
    for (int i = 1; i <= n * 2; i++) p[i] = i;
    
    sort(node + 1, node + 1 + m);
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (find(node[i].a) == find(node[i].b) || find(node[i].a+n) == find(node[i].b+n)) {
            cout << node[i].c << endl;
            return 0;
        }
        p[find(node[i].a)] = find(node[i].b + n);
        p[find(node[i].a+n)] =  find(node[i].b);
    }
    
    puts("0");
    
    return 0;
}