树状数组+二分-＞动态寻找第k小的数

树状数组基础知识

树状数组 数据结构详解与模板-bestsort

Acwing蓝桥杯第5讲树状数组与线段树

树状数组可以把它理解为动态的前缀和，我们可以改变数组中的任一一个数，以更短的时间获得任一子区间的和。

本节选了两道例题，来熟悉树状数组+二分在动态寻找第K小的数方面的应用

谜一样的牛

题目描述

有 n 头奶牛，已知它们的身高为 1∼n 且各不相同，但不知道每头奶牛的具体身高。
现在这 n 头奶牛站成一列，已知第 i 头牛前面有 Ai 头牛比它低，求每头奶牛的身高
谜一样的牛

题目分析

这道题难的是怎么会想到用树状数组，树状数组的作用在于动态的更新区间和。

自己在分析题目的时候，已经意识到要从后往前找了，但还是没有发现完整的规律。规律就是：从后向前，从当前还没有选的身高中，选出第k小的元素（输入）。选择的过程用的是二分。

那另外个问题来了，每次选完一个身高之后就不能选了，要从剩下的数组中选出第k小。这个怎么实现的呢？就是通过树状数组。因为这里的身高和下标刚好是一一对应的关系，拿样例来说，一开始tr[]数组内每个数都为1，求第k个小的数，就等价于求前x个数的和为k，找出这个x，就是对应的当前牛的身高。在每个身高被选了之后，就将其减为0，这样在下次求和时，这个位置因为二分选择取等缩区间的原因，就不会被选上

C++

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int seq[N], ans[N], tr[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int v) {
    for (int i = x; i <= N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i <= n; i++) scanf("%d", &seq[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(i, 1);
    
    for (int i = n; i; i--) {
        int k = seq[i] + 1; // 目前第k小的元素
        int l = 1, r = n;
        // 利用二分找出第k小的元素
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (query(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        ans[i] = l;
        add(l, -1); // -1表示已经被选
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << endl;
    
    return 0;
}

特殊堆栈

与上一道类似，这道题寻找的是动态的中位数
程序设计天梯赛-L3-002 特殊堆栈 (30 分)

题目描述

堆栈是一种经典的后进先出的线性结构，相关的操作主要有“入栈”（在堆栈顶插入一个元素）和“出栈”（将栈顶元素返回并从堆栈中删除）。

本题要求你实现另一个附加的操作：“取中值”——即返回所有堆栈中元素键值的中值。给定 N 个元素，如果 N 是偶数，则中值定义为第 $N/2$ 小元；若是奇数，则为第 $(N+1)/2$ 小元。

C++

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int tr[N];
stack<int> S;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int PeekMedian() {
    int l = 1, r = N, k = (S.size() + 1) / 2;
    
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (query(mid) >= k) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    
    while (n--) {
        string str;
        
        cin >> str;
        if (str == "Pop") {
            if (!S.empty()) {
                add(S.top(), -1);
                cout << S.top() << endl;
                S.pop();
            } else puts("Invalid");
        } else if (str == "Push") {
            int x;
            cin >> x;
            S.push(x);
            add(x, 1);
            
        } else if (str == "PeekMedian") {
            if (!S.empty()) {
                cout << PeekMedian() << endl;
            } else puts("Invalid");
        }
        
    }
    return 0;
}