蓝桥四平方和-枚举||二分||哈希

原题描述

四平方和，点击进入原题
参考资料acwing y总
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。

如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。

比如：

$5=0^2+0^2+1^2+2^{2}5=0$

$7=1^2+1^2+1^2+2^{2}7=1$

对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 4 个数排序：

$0\le a\le b\le c\le d$
并对所有的可能表示法按 $a,b,c,d$为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

枚举（最佳）

我特意在枚举法的后面加了最佳二字，意在告诉自己这道题其实没有想象中那么的复杂。利用3个for循环，将数枚举出来即可

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	
	for (int a = 0; a*a <= n; a++)
		for (int b = a; a*a+b*b <= n; b++)
			for (int c = b; a*a+b*b+c*c <= n; c++) {
				int t = n - a*a-b*b-c*c;
				int d = sqrt(t); // int对小数会直接向下取整
				if (d*d == t) { // 因此写法成立
					printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
					return 0;
				}
			}
	
	return 0;
}

二分

先预处理出c和d的值，并按大小提前进行排列
然后再枚举a、b的过程中，只需判断是否能查找到n-a*a-b*b的值即可
因为c、d的值具有单调，非常明显可以采用二分

// 二分查找
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;
int n, m;

struct Num {
	int cd, c, d;
	
	bool operator<(const Num& w) const {
		if (cd != w.cd) return cd < w.cd;
		if (c != w.c) return c < w.c;
		return d < w.d;
	}
}num[N];

int main() {
	cin >> n;
	
	for (int c = 0; c*c <= n; c++) {
		for (int d = c; c*c+d*d <= n; d++) {
			num[m++] = {c*c+d*d, c, d}; // 下标从0开始，区别于哈希的地方
		}
	}
	
	sort(num, num + m);
	
	for (int a = 0; a*a <= n; a++) {
		for (int b = a; a*a + b*b <= n; b++) {
			int t = n - a*a - b*b;
			int l = 0, r = m-1; // 边界为cd的个数
			while(l < r) {
				int mid = l+r>>1;
				if (num[mid].cd >= t) r = mid;
				else l = mid+1;
			}
			if (num[l].cd == t) {
				printf("%d %d %d %d\n", a, b, num[l].c, num[l].d);
				return 0;
			}
		}
	}
	return 0;
}

哈希

由二分查找的基础上推广而来，意在用哈希表来代替二分中的结构体

// 哈希
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
int n;
unordered_map<int, PII> m;

int main() {
	cin >> n;
	
	for (int c = 0; c*c <= n; c++) {
		for (int d = c; c*c+d*d <= n; d++) {
			int t = c*c + d*d;
			if (!m.count(t)) m[t] = {c, d}; // 未能找到再插入
		}
	}
	
	for (int a = 0; a*a <= n; a++) {
		for (int b = a; a*a + b*b <= n; b++) {
			int t = n - a*a - b*b;
			if (m.count(t)) {
				printf("%d %d %d %d\n", a, b, m[t].x, m[t].y);
				return 0;
			}
		}
	}
	
	return 0;
}